3.5. Основні закони алгебри логіки

Під бінарною операцією на множині A в загальному випадку розуміють відображення декартового добутку множин (A х A) в множину А. Іншими словами, результат використання бінарної операції до будь-якої упорядкованої парі елементів з А є також елемент із множини А.

Під унарною операцією на множині А розуміють виділення (фіксацію) якогось елемента множини А.

У булевій алгебрі справедливі закони:

закон комутативності – ;

закон асоциативності – ;

закон дистрибутивності – .

закон повторення –

закон універсальності меж – .

закон інволютивності –

закон доповнення –

закон поглинання – ;

закон спрощення –

закон склеювання –

закон де Моргана –

Використовуючи дані залежності, можна перетворити початкові вирази в більш прості, тобто мінімізувати їх. За спрощеними виразами можна побудувати технічний пристрій з мінімальними апаратурними витратами.

Приклад 1. Спростити вираз y =

Використовуючи закон склеювання, отримаємо:

Приклад 2. Спростити вираз .

Використовуючи закон де Моргана отримаємо:

.

Використовуючи закон де Моргана маємо:

.

Використовуючи закон ідемпотентності до першої круглої дужки і закон де Моргана до другої круглої дужки, отримаємо:

.

Послідовно застосовуючи закон поглинання та закон спрощення, а до виразів з запереченнями – закон де Моргана , отримаємо:

.

Після перетворення маємо:

.

І нарешті, використовуючи закон поглинання та закон спрощення, отримаємо:

.

Контрольні запитання

1. Що означають терміни “цифровий автомат” і “кінцевий автомат”?

2. Дайте пояснення терміну “висловлювання”.

3. Яке висловлювання називається предикатом?

4. Які змінні та функції являються булевими?

5. Які булеві оператори використовуються в булевих виразах?

6. Охарактеризуйте різні способи подання булевих функцій.

7. Наведіть приклад схемного відтворення булевої функції.

8. Перелічіть найменування булевих функцій однієї і двох змінних.

9. Які основні закони алгебри логіки ви знаєте?

10. Продемонструйте використання законів алгебри логіки для

спрощення логічних виразів.

11. Виразити функції АБО, І та НІ через функції АБО-НІ.

12. Спростити вираз

13. Виразити функції АБО, І та НІ через функції І-НІ.

14. Побудуйте таблицю істинності для функції f₁(x₁, х₂, x₃)=( 0,3,4,6,7)¹ .

15. Спростити вираз .

16. Спростити вираз .

61