2. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме»

Р ис. 1

Уравнение Шрёдингера

, (5)

. (6)

Граничные условия: . (7)

В пределах «потенциальной ямы»:

, . (8)

Общее решение: (9)

(9) (8):

Из граничных условий: (9):

(9): (10)

, n = 1, 2, 3, … (11)

Энергия в потенциальной яме зависит только от целого числа n, т.е. квантуется.  уровни энергии, n  главные квантовые числа.

Собственные функции: (10) (9):

. (12)

Постоянная интегрирования А находится из условия нормировки:

Табличный интеграл:

(13)

Энергетический интервал между двумя уровнями энергии

,

при l = 10^-1 м мало, энергетические уровни расположены тесно непрерывное распределение энергии;

при l = 10^-10 м велико, энергия дискретна линейчатый спектр.

Принцип соответствия Бора

Законы квантовой механики при больших значениях квантовых чисел должны переходить в законы классической физики.

48.

Туннельный эффект Tunneling effect

    Туннельный эффект (туннелирование) – прохождение частицы (или системы) сквозь область пространства, пребывание в которой запрещено классической механикой. Наиболее известный пример такого процесса – прохождение частицы сквозь потенциальный барьер, когда её энергия Е меньше высоты барьера U₀. В классической физике частица не может оказаться в области такого барьера и тем более пройти сквозь неё, так как это нарушает закон сохранения энергии. Однако в квантовой физике ситуация принципиально другая. Квантовая частица не движется по какой-либо определенной траектории. Поэтому можно лишь говорить о вероятности нахождения частицы в определенной области пространства ΔрΔх > ћ. При этом ни потенциальная, ни кинетическая энергии не имеют определенных значений в соответствии с принципом неопределенности. Допускается отклонение от классической энергии Е на величину ΔЕ в течение интервалов времени t, даваемых соотношением неопределённостей ΔЕΔt > ћ (ћ = h/2π, где h – постоянная Планка).

      Возможность прохождения частицы сквозь потенциальный барьер обусловлена требованием непрерывной волновой функции на стенках потенциального барьера. Вероятность обнаружения частицы справа и слева связаны между собой соотношением, зависящим от разности E - U(x) в области потенциального барьера и от ширины барьера x₁ - x₂ при данной энергии.

    С увеличением высоты и ширины барьера вероятность туннельного эффекта экспоненциально спадает. Вероятность туннельного эффекта также быстро убывает с увеличением массы частицы.     Проникновение сквозь барьер носит вероятностный характер. Частица с Е < U₀, натолкнувшись на барьер, может либо пройти сквозь него, либо отразиться. Суммарная вероятность этих двух возможностей равна 1. Если на барьер падает поток частиц с Е < U₀, то часть этого потока будет просачиваться сквозь барьер, а часть – отражаться. Туннельное прохождение частицы через потенциальный барьер лежит в основе многих явлений ядерной и атомной физики: альфа-распад, холодная эмиссия электронов из металлов, явления в контактном слое двух полупроводников и т.д.

Состояние микрочастицы описывается в квантовой ме­ханике волновой функцией ψ. Она является функцией координат и времени. Квадрат модуля волновой функции определяет вероятность dP того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV:

. (8.14)

Волновая функция может быть найдена путем решения уравнения Шрёдингера:

. (8.15)

Здесь Δ – оператор Лапласа ( ); U –потенциальная энергия частицы. Уравнение Шрёдингера является основным уравнением квантовой механики. Подобно тому, как уравнения динамики Ньютона не могут быть получены теорети­чески, а представляют собой обобщение большого числа опытных фактов, уравнение Шрёдингера также нельзя вывести из каких-либо известных ранее соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем обстоятельством, что все вытекающие из него следствия самым точным образом согласуются с опытными фактами.

В атоме водорода или водородоподобном ионе потенциальная энергия электрона равна:

. (8.16)

Уравнение Шрёдингера имеет в этом случае вид:

. (8.17)

Можно показать, что (8.17) имеет однозначные, конечные и непрерывные решения в следующих случаях: 1) при любых положительных значениях Е; 2) при дискретных отрицательных значениях энергии, равных:

, (n=1, 2, 3,…∞). (8.18)

Случай Е>0 соответствует электрону, пролетающему вблизи ядра и удаляющемуся вновь на бесконечность. Случай Е<0 соответствует электрону, находящемуся в пределах атома. Сравнение (8.18) и (8.10) показывает, что квантовая механика приводит к таким же значениям энергии водородного атома, какие получались и в теории Бора. Однако в квантовой механике эти значения получаются логическим путём при решении уравнения Шрёдингера. Бору же для получения такого результата пришлось вводить специальные дополнительные предположения.

Спектры атомов и молекул

Примерная схема энергетических уровней атома представлена на рисунке.E _{электрона}=0 Рис. 1. Структура энергетических уровней атома (на примере водорода) Поскольку энергетические уровни обратно пропорциональны квадрату квантового числа n², разность между каждыми двумя соседними уровнями по мере возрастания числа и по абсолютной величине уменьшается. Таким образом, по мере удаления от ядра разность между двумя соседними энергетическими уровнями атома убывает: E₂ - E₁ > E₃ - E₂ > E₄ - E₃ ,. . .Стационарный уровень с наименьшей энергией называется основным, он соответствует состоянию атома, не подвергающегося никаким внешним воздействиям. Остальные стационарные уровни называются возбуждёнными. Возбуждение атома, то есть переход электрона в состояние с большей энергией (Рис. 1., путь 1), требует сообщения атому дополнительной энергии и, следовательно, происходит в результате каких-либо внешних воздействий, например, при соударении частиц в процессе интенсивного теплового движения или при электрическом разряде в газах, при поглощении фотона электромагнитного излучения, в результате рекомбинации ионов в газе или электронов и дырок в полупроводнике, при действии на атом частиц радиоактивного излучения и т.д. Возбужденное состояние неустойчиво, примерно через 10^-8сек электрон возвращается в основное квантовое состояние, при этом излучается фотон, уносящий дополнительную энергию, полученную при возбуждении, и атом переходит в основное состояние (Рис.1., путь 2). Электрон может возвращаться на основную орбиту не только единым переходом, но и ступеньками через промежуточные уровни. В этом случае при переходе будет излучаться несколько фотонов (Рис. 1., путь 3) с частотами, соответствующими разности энергий этих уровней. 

В итоге каждый атом излучает строго определенный набор частот излучений, соответствующий разнице энергий между уровнями.

Зависимость величины излучаемой атомами или молекулами энергии от длины волны или частоты световой волны называется спектром испускания, а поглощаемой -спектром поглощения. 

Интенсивность спектральных линий определяется числом одинаковых переходов, происходящих в единицу времени, и поэтому зависит от количества излучающих (поглощающих) атомов и вероятности соответствующего перехода.

Атомными спектрами называют как спектры испускания, так и спектры поглощения, которые возникают при квантовых переходах между уровнями свободных или слабо взаимодействующих атомов. Атомные спектры линейчаты. 

Молекулярные спектры (испускания и поглощения) возникают при квантовых переходах молекул с одного энергетического уровня на другой и состоят из совокупности более или менее широких полос, которые представляют собой тесно расположенные линии. Сложность молекулярных спектров по сравнению с атомными обусловлена большим разнообразием движений и, следовательно, энергетических переходов в молекуле.

Спектры поглощения и испускания вещества являются источником информации о качественном составе (из каких молекул или атомов состоит вещество), количественном соотношении различных компонентов вещества, их состоянии и структурной организации.

В спектральном анализе используют как спектры испускания (эмиссионныйспектральный анализ), так и спектры поглощения (абсорбционный спектральный анализ).

В зависимости от энергии (частоты) фотона, испускаемого или поглощаемого атомом (или молекулой), классифицируют следующие виды спектроскопии: радио-, ИК, УФ, видимого излучения, рентгеновская.

По типу вещества источника спектра различают атомные, молекулярные спектры и спектры кристаллов.

В медицинских целях эмиссионный анализ служит в основном для определения микроэлементов в тканях организма, небольшого количества атомов металлов в консервированных продуктах с гигиенической целью, некоторых элементов в трупных тканях для целей судебной медицины и так далее.

Абсорбционные спектры широко используются в современных биохимических и биофизических работах.

Различают качественный (определение состава вещества) и количественный (определение концентраций соединений, входящих в данное вещество) спектральный анализ.

При торможении быстрых заряженных частиц атомами вещества анода возникает электромагнитное излучение, которое называют тормозным рентгеновским излучением.

При торможении большого количества электронов образуется сплошной (непрерывный) спектр рентгеновского излучения.

Ф

Рис. 44. Спектр тормозного рентгеновского излучения

Короткое излучение возникает, когда энергия, приобретенная электроном в ускоряющем поле, полностью переходит в энергию фотона:

; м, с =3^.10⁸ м/с.

Поток рентгеновского излучения (Ф):

Z – порядковый номер атома вещества анода;

k = – коэффициент пропорциональности;

I – сила тока в рентгеновской трубке;

U – напряжение в рентгеновской трубке.

Увеличивая напряжение на рентгеновской трубке, на фоне сплошного спектра появляется линейчатый спектр, который соответствует характеристическому рентгеновскому излучению (рис. 45).

Характеристическое рентгеновское излучение возникает из-за того, что некоторые ускоренные электроны проникают вглубь атома и из внутренних слоев выбивают электроны. На свободные места переходят электроны с верхних уровней, испуская рентгеновские кванты электромагнитного излучения:

Ф_λ

Рис. 45.

С увеличением заряда атома анода увеличивается частота излучаемого характеристического излучения. Такую закономерность называют законом Мозли:

,

где – частота спектральной линии характеристического рентгеновского излучения;

Z – атомный номер испускающего элемента; А и В – постоянные.

Характеристические спектры сдвигаются в сторону больших частот с увеличением заряда ядра.

Характеристическое рентгеновское излучение – электромагнитное излучение, испускаемое при переходах

электронов с внешних электронных оболочек атома на внутренние (характеристический спектр). Длина волны характеристического рентгеновского излучения, испускаемого химическими элементами, зависит от атомного номера элемента. Кривая соответствует закону Мозли: чем больше атомный номер элемента, тем меньше длина волны характеристической линии. Закон Мозли – линейная зависимость квадратного корня

из частоты характеристического рентгеновского излучения от атомного номера химического элемента.

Тормозное рентгеновское излучение (рентгеновские лучи) с непрерывным энергетическим спектром - коротковолновое электромагнитное (фотонное) излучение. Образуется при уменьшении кинетической энергии (торможении, рассеянии)

быстрых заряженных частиц, например, при торможении в кулоновском поле ускоренных электронов.

Существенно для легких частиц электронов и позитронов. Спектр тормозного излучения непрерывен,

максимальная энергия равна начальной энергии частицы.

Рентгеновские спектры, спектры испускания и поглощения рентгеновских лучей. Характеристические рентгеновские спектры испускают атомы мишени, у которых при столкновении с заряженной частицей высокой энергии или фотоном первичного рентгеновского излучения с одной из внутренних оболочек (K-, L-, M-, … оболочек) вылетает электрон. Состояние атома с вакансией во внутренней оболочке (его начальное состояние) неустойчиво. Электрон одной из внешних оболочек может заполнить эту вакансию, и атом при этом переходит в конечное состояние с меньшей энергией.Избыток энергии атом может испустить в виде фотона характеристического излучения. Поскольку энергия Е₁ начального и Е₂ конечного состояний атома квантованы, возникает линия рентгеновского спектра с частотой v=(Е₁- Е₂)/h, где h - постоянная Планка. Другой весьма важной особенностью характеристических спектров рентгеновских лучей является то обстоятельство, что каждый элемент даёт свой спектр независимо от того, возбуждается ли этот элемент к испусканию рентгеновских лучей в свободном состоянии или в химическом соединении. Эта особенность характеристического спектра рентгеновских лучей используется для идентификации различных элементов в сложных соединениях и является основой рентгеноспектрального анализа.

 49.