1.3 Метод касательных

Дополнительные предположения: f(x) дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b], на котором отделен корень; сохраняют постоянные знаки на отрезке [a, b].

За х₀ выбирается точка, в которой выполняется условие:

(1.5)

Это либо точка a, либо точка b. Далее вычисляются точки

(1.6)

до тех пор, пока не выполнится условие

(1.7) Тогда - приближенное значение корня с погрешностью .

Для решения уравнений, в том числе трансцендентных, в Scilab применяют функцию fsolve(x0,f)

где x0 - начальное приближение, f - функция, описывающая левую часть уравнения f(x)=0.

Систему нелинейных уравнений также можно решить, используя функцию fsolve.

clc

function [y]=ff(x)

y(1)=x(1)^2+x(2)^2-1;

y(2)=x(1)^3-x(2);

endfunction

t=fsolve([-.5,-.5],ff)

t = - 0.8260314 - 0.5636242

Тема 2. Аппроксимация

Аппроксимация – замена одной функции f(x) другой, похожей функцией Q(x). Например, функцию, полученную экспериментально в виде таблицы или графика, надо записать в аналитическом виде, либо функцию, достаточно сложную нужно заменить похожей, но более простой.

Простейший способ аппроксимации – замена функции f(x) алгебраическим полиномом

(2.1)

Аппроксимацию называют точечной, если f(x) задана на конечном множестве точек (узлов)

Если f(x) задана на непрерывном множестве значений аргументов, то аппроксимацию называют интегральной.

Необходимо так подобрать коэффициенты в формуле (2.1), чтобы Q(x,c_j) как можно меньше отличалась от f(x).

2.1 Меры погрешности аппроксимации

Мерой погрешности назовем некоторое неотрицательное число (f,Q). Естественно потребовать, чтобы (f,Q)=0, если f(x) и Q(x,c_j) совпадают на общем для их задания множестве значений аргументов. Справедливо и обратное утверждение.

После того, как мера каким-либо образом задана, необходимо указать способ получения коэффициентов с_j. Для поиска коэффициентов можно воспользоваться минимаксным подходом, который осуществляет равномерное приближение функций, методом наименьших модулей, методом наименьших квадратов и другими.

1. Метод наименьших квадратов

Чаще всего при точечной аппроксимации используют меру

(2.2)

а коэффициенты с_j ищут из условия

(2.3)

Это точечная квадратичная аппроксимация.

При интегральной аппроксимации

Описанный подход к задаче аппроксимации называется методом наименьших квадратов. Условия (2.2) и (2.3) геометрически означают: из всех кривых заданного вида выбирают ту, у которой сумма площадей квадратов отклонений – наименьшая.

В математике кривую y=Q(x,c_j) называют регрессией Y на X . Это означает, что у функции y=Q(x,c_j) число искомых коэффициентов меньше количества узлов, в крайнем случае возможно равенство

n+1m+1 (2.4)

Если аргументом считать y, а x – функцией, то говорят о регрессии X на Y. Отклонения в этом случае откладывают по оси X.

Регрессия Y на X

Регрессия X на Y