Тема 1. Численные методы решения уравнений

Уравнение называется алгебраическим, если его можно представить в виде:

(1.1)

Формула (1.1) – каноническая форма записи алгебраического уравнения. Если уравнение не удается привести к виду (1.1) заменой переменных, то уравнение называется трансцендентным.

Решить уравнение означает найти такие значения x, при которых уравнение превращается в тождество.

Известно, что уравнение (1.1) имеет ровно n корней – вещественных или комплексных. Если n=1, 2, 3 [и иногда 4 (биквадратное уравнение], то существуют точные методы решения уравнения (1.1). Если же n>4 или уравнение – трансцендентное, то таких методов не существует, и решение уравнения ищут приближенными методами. Всюду при дальнейшем изложении будем предполагать, что f(x) – непрерывная функция. Методы, которые мы рассмотрим, пригодны для поиска некратных (то есть изолированных) корней.

1. Отделение корня

Решение уравнения состоит из двух этапов: 1 – отделение корня, 2 – его уточнение.

Отделить корень – значит указать такой отрезок [a, b] , на котором содержится ровно один корень уравнения .

Не существует алгоритмов отделения корня, пригодных для любых функций f(x). Если удастся подобрать такие a и b, что

1. f(a) f(b)<0 (1.2)

2. f( x) – непрерывная на [a, b] функция (1.3)

3. f( x) – монотонная на [a, b] функция (1.4)

то можно утверждать, что на отрезке [a, b] корень отделен.

Условия (1.2) –(1.4) – достаточные условия того, что корень на [a, b] отделен, то есть если эти условия выполняются, то корень отделен, но невыполнение, например, условий (1.3) или (1.4) не всегда означает, что корень не отделен.

Корень можно отделить аналитически и графически.

Пример. Аналитически отделить положительный корень уравнения

Решение. Составим таблицу

x	0	1	2	3
	-5	-11	-11	1

1. f(2)f(3)<0

2. f(x) – непрерывная функция

3. , следовательно, f(x) – монотонно возрастает на отрезке [2, 3].

Вывод: на отрезке [2, 3] корень отделен.

Графический метод отделения корня

Уравнение представляют в виде (x)=(x), где (x) и (x) функции, более простые, чем f(x). Корень уравнения - абсцисса точки пересечения графиков функций y=(x) и y=(x).

Пример:

2. Уточнение корня методом деления отрезка пополам

Уточнить корень – значит найти его приближенное значение с заданной погрешностью .

Самый простой метод, пригодный для любых непрерывных функций – метод деления отрезка пополам.

Предположим, что отрезок [a, b], на котором отделен корень уравнения, уже найден.

Пусть, например, f(a)>0, f(b)<0. Вычислим точку Если вместо корня взять точку x, то погрешность, которую мы при этом допустим, не превысит величины . Если эта погрешность не превышает некоторую заданную погрешность , с которой нужно уточнить корень уравнения, то вычисления прекращаем и можно записать: . В противном случае определяем новый отрезок [a, b], на котором отделен корень нашего уравнения. Для этого определим знак функции в точке х. В нашем примере f(x)>0. Новый отрезок – отрезок [x, b], так как на концах этого отрезка функция имеет разные знаки. Переобозначим один из концов отрезка – в нашем случае положим a=x - и повторим процедуру для нового отрезка [a, b].