16. Задание 24 № 311924

16. В тре­уголь­ни­ке ABC угол С равен 90°, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен 2. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если AB = 12.

Решение.

Пусть A₁, B₁ и C₁ — точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­на­ми BC, AC и AB соответственно. Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти обо­зна­чим r. Тогда AC₁ = AB₁, BC₁ = BA₁ и CA₁ = CB₁ = r. Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен

 

2AC₁ + 2BC₁ + 2CA₁ = 2AB + 2r,

 

а его по­лу­пе­ри­метр p равен AB + r.

По фор­му­ле пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка на­хо­дим

 

Ответ: 28.

Критерии проверки:

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 19.11.2013 ва­ри­ант МА90201.

17. Задание 24 № 353409

17. Медиана BM и бис­сек­три­са AP тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, длина сто­ро­ны AC относится к длине стороны  AB как 7:10. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AKM к пло­ща­ди треугольника ABC.

Решение.

По свойству медианы известно, что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольников. Таким образом, . По свойству биссектрисы имеем: . Из условия задачи известно, что , следовательно,

 

 

Так как высота h является общей для треугольников и , имеем:

 

 

 

Ответ:

18. Задание 24 № 353441

18. Точка H яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты BH, проведённой из вер­ши­ны пря­мо­го угла B пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Окруж­ность с диа­мет­ром BH пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и CB в точ­ках P и K соответственно. Най­ди­те PK, если BH = 11.

Четырёхугольники

1. Задание 24 № 311249

1. Основания рав­но­бед­рен­ной трапеции равны 8 и 18, а пе­ри­метр равен 56.

Найдите пло­щадь трапеции.

Решение.

Трапеция равнобедренная, значит,

 

и

Тогда,

 

 

Ответ:

Критерии проверки:

2. Задание 24 № 340934

2. В па­рал­ле­ло­грамм впи­са­на окружность. Най­ди­те пе­ри­метр параллелограмма, если одна из его сто­рон равна 8.

Решение.

Поскольку в дан­ный па­рал­ле­ло­грамм можно впи­сать окружность, суммы его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. Так как про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны также равны, получаем, что все сто­ро­ны дан­но­го па­рал­ле­ло­грам­ма равны, а значит, этот че­ты­рех­уголь­ник яв­ля­ет­ся ромбом. Следовательно, его пе­ри­метр равен 8 · 4 = 32.

 

Ответ: 32.

Критерии проверки:

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 26.11.2014 ва­ри­ант МА90204.

3. Задание 24 № 341285

3. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 3. Найдите высоту ромба.

Решение.

Поскольку ABCD — ромб, AD = DC = DH + HC = 15.

Треугольник ADH прямоугольный, поэтому:

 

Ответ: 9.

Критерии проверки:

4. Задание 24 № 341290

4. Высота AH ромба ABCD делит сто­ро­ну CD на от­рез­ки DH = 12 и CH = 1. Най­ди­те высоту ромба.

Решение.

Поскольку ABCD — ромб, AD = DC = DH + HC = 13.

Треугольник ADH прямоугольный, поэтому:

Ответ: 5.

Критерии проверки:

5. Задание 24 № 311566

5. Периметр пря­мо­уголь­ни­ка равен 56, а диа­го­наль равна 27. Най­ди­те пло­щадь это прямоугольника.

Решение.

Пусть одна из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна   . Тогда дру­гая сто­ро­на равна   , а пло­щадь   . По тео­ре­ме Пифагора:

 

 

 

Значит, ис­ко­мая пло­щадь равна 27,5.

Ответ: 27,5.

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(5 вар)