10. Задание 24 № 339400

10. Отрезки AB и DC лежат на па­рал­лель­ных прямых, а от­рез­ки AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Най­ди­те MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25 .

Решение.

Углы и равны как на­крест лежащие, углы и равны как вертикальные, следовательно, тре­уголь­ни­ки и по­доб­ны по двум углам.

Значит, Следовательно,

 

 

Откуда

 

Ответ: 15.

Критерии проверки:

Ответ: 15

339400

15

11. Задание 24 № 339487

11. Окружность пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и AC тре­уголь­ни­ка ABC в точ­ках K и P со­от­вет­ствен­но и про­хо­дит через вер­ши­ны B и C. Най­ди­те длину от­рез­ка KP, если AP = 18, а сто­ро­на BC в 1,2 раза мень­ше сто­ро­ны AB.

Решение.

Поскольку четырёхугольник впи­сан в окружность, сумма про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°, следовательно, Углы и — смежные, следовательно, Из приведённых равенств, получаем, что Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и угол — общий, углы и равны, следовательно, тре­уголь­ни­ки подобны, от­ку­да Ис­поль­зуя ра­вен­ство найдём

 

Ответ: 15.

Критерии проверки:

12. Задание 24 № 339656

12. Прямая, па­рал­лель­ная сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и BC в точ­ках M и N соответственно. Най­ди­те BN, если MN = 13, AC = 65, NC = 28.

Решение.

Рассмотри тре­уголь­ни­ки и углы и равны как со­от­вет­ствен­ные при па­рал­лель­ных прямых, угол — общий, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны, от­ку­да Найдём

 

 

Ответ: 7.

Критерии проверки:

Источник: Банк заданий ФИПИ

13. Задание 24 № 311700

13. Найдите от­но­ше­ние двух сто­рон треугольника, если его медиана, вы­хо­дя­щая из их общей вершины, об­ра­зу­ет с этими сто­ро­на­ми углы в 30° и 90°.

Решение.

Пусть в тре­уголь­ни­ке от­ре­зок слу­жит медианой, при этом  = 90°,  = 30°. Возь­мем на про­дол­же­нии от­рез­ка точку так, что . Тогда тре­уголь­ни­ки и равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Значит,  = 90°. По­это­му тре­уголь­ник  — пря­мо­уголь­ный с углом , рав­ным 30°. Следовательно, .

 

Ответ: 1:2.

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа № 2(1вар)

14. Задание 24 № 311706

14. Высота тре­уголь­ни­ка разбивает его ос­но­ва­ние на два от­рез­ка с дли­на­ми 8 и 9. Най­ди­те длину этой высоты, если известно, что дру­гая высота тре­уголь­ни­ка делит ее пополам.

Решение.

Пусть вы­со­та тре­уголь­ни­ка раз­би­ва­ет основание на от­рез­ки и , вы­со­та пе­ре­се­ка­ет высоту в точке , при­чем . Тре­уголь­ни­ки и подобны, по­сколь­ку они пря­мо­уголь­ные и пер­вые два имеют рав­ные углы (углы и равны как вертикальные), а вто­рые два имеют общий угол. По­лу­ча­ем пропорцию

, то есть , от­ку­да .

 

Следовательно, и .

 

Ответ: 12.

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2012. Математика. Тренировочная работа №2(2вар)

15. Задание 24 № 311707

15. Биссектрисы углов и при бо­ко­вой стороне тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Най­ди­те , если .

Решение.

 — тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми и , то есть пря­мые и параллельны. Углы и  — внут­рен­ние односторонние при па­рал­лель­ных прямых и и се­ку­щей , следовательно,  = 180°.

Учитывая, что и  — бис­сек­три­сы углов и то  = 90°.

Треугольник  — прямоугольный, тогда по тео­ре­ме Пифагора по­лу­ча­ем .

Ответ: 26.

Критерии проверки:

Источник: Типовые экзаменационные варианты. А. Л. Семенова, И. В. Ященко — 2013, вариант 1.