4. Задание 24 № 311240

4. Окружность про­хо­дит через вер­ши­ны А и С тре­уголь­ни­ка АВС и пе­ре­се­ка­ет его сто­ро­ны АВ и ВС в точ­ках К и Е соответственно. От­рез­ки АЕ и СК перпендикулярны. Най­ди­те ∠КСВ, если ∠АВС = 20°.

Решение.

Углы АКС и АЕС равны, т. к. опи­ра­ют­ся на одну дугу окружности; следовательно, ∠ВКС = ∠ВЕА, как смеж­ные с ними. Из четырёхугольника ВКDЕ: Из ВКС: ∠КСВ = 180° − 125° − 20° = 35°.

 

Ответ: 35°.

Критерии проверки:

5. Задание 24 № 311968

5. В тре­уголь­ни­ке ABC угол С равен 90°, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен 2. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если AB = 12.

Решение.

Пусть A₁, B₁ и C₁ — точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­на­ми BC, AC и AB соответственно. Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти обо­зна­чим r. Тогда AC₁ = AB₁ и CA₁ = CB₁ = r. Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен 2AC₁ + 2BC₁ + 2CA₁ = 2AB + 2r. По­лу­пе­ри­метр p равен AB + r.

По фор­му­ле пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка находим

 

 

Ответ: 28.

Критерии проверки:

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 19.11.2013 ва­ри­ант МА90202.

6. Задание 24 № 154

6. В тре­уголь­ни­ке АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Най­ди­те угол между вы­со­той ВН и бис­сек­три­сой BD.

Решение.

Найдем

 

 

Так как BD - биссектриса, то

Треугольник HBC- прямоугольный. Так как то

 

Таким образом, ис­ко­мый угол DBH равен

 

Ответ:

Критерии проверки:

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1313.

7. Задание 24 № 180

7. Прямая AD, пер­пен­ди­ку­ляр­ная медиане ВМ тре­уголь­ни­ка АВС, делит её пополам. Най­ди­те сторону АС, если сто­ро­на АВ равна 4.

Решение.

Так как вы­со­та AD, про­ве­ден­ная к ме­ди­а­не BM делит ее пополам, то тре­уголь­ник ABM яв­ля­ет­ся равнобедренным, по­это­му AB=AM=4. Так как BM- медиана, то AM=MC, таким образом, AC=2AM=8.

 

Ответ: AC=8.

Критерии проверки:

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1317.

8. Задание 24 № 333025

8. Катет и ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 18 и 30. Най­ди­те высоту, проведённую к гипотенузе.

Решение.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра вто­рой катет равен . С одной стороны, пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния катетов, а с дру­гой стороны, она равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ги­по­те­ну­зы на высоту, проведённую к ней. Следовательно, ис­ко­мая вы­со­та равна .

 

Ответ: 14,4.

Критерии проверки:

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 17.04.2014 ва­ри­ант МА90601

9. Задание 24 № 339395

9. Точка H яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты BH, проведённой из вер­ши­ны пря­мо­го угла B пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Окруж­ность с диа­мет­ром BH пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и CB в точ­ках P и K соответственно. Най­ди­те PK, если BH = 16.

Решение.

Угол — вписанный, он равен 90° и опи­ра­ет­ся на дугу следовательно, дуга равна 180°, значит, хорда — диа­метр окруж­но­сти и

 

Ответ: 16.

Критерии проверки: