1.3 Решение дифференциальных уравнений
Дифференциальное уравнение – уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные. Порядок или степень дифференциального уравнения определяется наибольшим порядком производной, входящей в это уравнение. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких – уравнением в частных производных.
Примерами записи дифференциальных уравнений могут служить следующие уравнения:
В общем случае решение дифференциального уравнения n-го порядка заключается в отыскании функции x=x(t), при подстановке которой в уравнение (1), последнее обращается в тождество:
(1)
Каждое дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений, которые отличаются друг от друга константами. Для однозначного определения решения требуется задать дополнительные начальные или граничные условия. Количество таких условий должно совпадать с порядком дифференциального уравнения или системы. В зависимости от вида дополнительных условий в дифференциальных уравнениях различают:
1) задачу Коши – все дополнительные условия заданы в одной точке интервала;
2) краевую задачу – дополнительные условия указаны на границах интервала.
Для дифференциального уравнения n-го порядка задача Коши состоит в нахождении решения x=x(t), удовлетворяющего уравнению (1) и начальным условиям (2).
(2)
Уравнение
(1) сводится к системе n
обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка заменой
на неизвестную функцию p.
Например, уравнение второго порядка
можно записать в виде системы двух
уравнений:
Различают точные (аналитические) и приближенные (численные) методы решения дифференциальных уравнений. К аналитическим методам относятся метод последовательного дифференцирования, использующий разложение в ряд Тейлора, и метод последовательных приближений.
В системе MATLAB для аналитического (символьного) решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений используется функция dsolve, имеющая следующий синтаксис:
dsolve(‘expr1’, ‘expr2’,…, ‘exprn’, ‘cond1’, ‘cond2’,…, ‘condn’, ‘var’)
где: expr1, expr2,…, exprn – символьная запись дифференциальных уравнений, cond1, cond2,…, condn – граничные условия, var – независимая переменная, опциональный параметр, по умолчанию независимой переменной считается переменная t.
Имя независимой переменной не должна начинаться с D, так как это символ обозначает производную по независимой переменной: D=d/dt, D2=d2/dt2.
Пример: необходимо найти аналитическое решение следующего дифференциального уравнения:
Для нахождения решения данного дифференциального уравнения в системе MATLAB необходимо выполнить следующую команду:
>> dsolve(‘Dx*t*(1+t^2)=x+x*t^2–t^2’, ‘x(0)=–pi/4’);
Однако, существуют дифференциальные уравнения, не имеющие аналитического решения, поэтому широкое распространение получили численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. К наиболее распространенным методам численного решения дифференциальных уравнений относят метод Эйлера, усовершенствованный метод Эйлера (Метод Эйлера – Коши), методы Рунге-Кутты, метод прогноза-коррекции Адамса.
Суть численных методов решения дифференциальных уравнений рассмотрим для следующего примера. Пусть требуется найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего начальному условию:
Иными словами, требуется найти интегральную кривую x=x(t), проходящую через точку M0(t0, x0).