1.5. Условия равновесия системы сходящихся сил

Так как система сходящихся сил имеет равнодействующую, для ее равновесия необходимо и достаточно, чтобы эта равнодействующая равнялась нулю:

. (1.4)

Тогда силовой многоугольник (см. рис. 1.14) оказывается замкнутым, откуда следует геометрическое условие равновесия: «Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный на силах системы, был замкнут».

При выполнении условия (1.4) из формулы (1.3) получим

откуда с учетом (1.2) следуют уравнения равновесия:

. (1.5)

Таким образом, получены аналитические условия равновесия: «Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил системы на каждую из трех координатных осей равнялись нулю». В случае плоской сходящейся системы сил используют два из трех уравнений равновесия (1.5).

Теорема о трех силах. Если тело находится в равновесии под действием трех сил, и линии действия двух сил пересекаются, то все силы лежат в одной плоскости, а их линии действия пересекаются в одной точке.

Доказательство

Пусть линии действия сил и, приложенных в точкахA и B, пересекаются в точке O (рис. 1.15).

Перенесем силы в эту точку и заменим их равнодействующей, в результате чего получим уравновешенную систему двух сил 0, откуда на основании аксиомы 1 следует, что силы инаправлены вдоль одной прямой. Таким образом, линии действия всех сил пересекаются в точкеO, а сами силы лежат в одной плоскости. Теорема доказана.

1.6. Решение задач статики

План решения задач статики следующий:

1) выбрать объект равновесия, т.е. тело (отдельную точку), равновесие которого (которой) будем рассматривать;

2) показать активные силы, действующие на объект равновесия;

3) освободить объект равновесия от связей и показать их реакции;

4) установить тип полученной системы сил и сформулировать условия равновесия;

5) определить из условий равновесия неизвестные величины.

Пример. Шар весом G подвешен на нити BC, составляющей с вертикалью угол , и опирается в точке A на гладкую вертикальную стену (рис. 1.16).

Определить реакции стены N и нити T.

Решение

Рассмотрим равновесие шара. На него действуют: сила тяжести – активная сила, реакции стеныи нити(см. рис. 1.16,а). Реакция гладкой стенынаправлена по нормали к стене и проходит через центр шараO, где приложена сила тяжести . Так как шар находится в равновесии под действием трех сил, линия действия силыдолжна проходить через точку пересечения линий действия сили, т.е. через центр шараO. Таким образом, на шар действует плоская сходящаяся система сил.