6.3. Определение абсолютного ускорения точки

Рассмотрим случай переносного вращательного движения и запишем формулу (6.5) в виде:

. (6.6)

Продифференцируем соотношение (6.6) по времени

. (6.7)

Здесь – абсолютное ускорение точкиМ;

–вектор углового ускорения подвижной системы координат; ;;;– относительное ускорение точкиМ;

.

Теперь из формулы (6.7) получим

. (6.8)

Первые два слагаемых этого равенства представляют собой в соответствии с выражением (5.22) ускорение точки подвижной системы координат, совпадающей с движущейся точкой М, т.е. являются ее переносным ускорением . Последнее слагаемое называюткориолисовым ускорением

. (6.9)

К

ориолисово ускорение направлено перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторыи, в ту сторону, откуда поворот векторак векторуна наименьший угол виден против часовой стрелки (рис. 6.2).

Модуль кориолисова ускорения:

, (6.10)

где  – угол между векторами и.

Для определения модуля и направления кориолисова ускорения можно использовать правило Жуковского: «Для построения вектора кориолисова ускорения надо спроецировать векторна плоскость, перпендикулярную вектору ,умножить полученную проекцию на и повернуть полученный вектор на вокруг вектора в сторону переносного вращения» (рис. 6.3). Легко проверить, что направление полученного вектора совпадает с направлением вектора , определенным по формуле (6.9), его модуль .

Кориолисово ускорение равно нулю в следующих случаях:

1) в те моменты времени, когда относительная скорость равна нулю ;

2) если векторы иколлинеарны, т.е. угол между ними = 0 или ;

3) в те моменты времени, когда угловая скорость переносного движения равна нулю .

Итак, из уравнения (6.8) получим

. (6.11)

Этот результат выражает содержание теоремы Кориолиса: «Абсолютное ускорение точки в случае переносного вращательного движения равно геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений».

В общем случае переносное и относительное ускорения могут быть представлены в виде сумм касательных и нормальных составляющих, и тогда формула (6.11) примет вид:

. (6.12)

Рассмотрим случай переносного поступательного движения. Запишем формулу (6.5) так:

и продифференцируем ее по времени, учитывая, что при поступательном переносном движении :

,

где

;

–абсолютное, переносное и относительное ускорения точки М.

Таким образом, при переносном поступательном движении абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного и относительного ускорений:

. (6.13)

Пример. Круглая пластина радиусом R = 60 см вращается вокруг неподвижной оси, перпендикулярной плоскости пластины и проходящей через точку О, лежащую на ее ободе, по закону рад (рис. 6.4). По ободу пластины движется точкаМ, положение которой определяется координатой см.

Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t = 1 с.

Положение точки М в заданный момент времени определим с помощью центрального угла

рад = .

Найдем угловую скорость и угловое ускорениепластины:

4 рад/с;

8 рад/c² = const,

а также их модули:

.

Так как и, пластина вращается в сторону увеличения угла ускоренно. Треугольник ОСМ равносторонний, поэтому ОМ = R = 60 см. Абсолютная скорость точки М: . Проекция относительной скорости на касательнуюМ

см/с.

Модуль относительной скорости

125,66 см/с.

Модуль переносной скорости

см/с; .

Модуль абсолютной скорости точки М:

=

= 321,8 см/с.

Абсолютное ускорение точки М

.

Проекция относительного касательного ускорения на ось М:

–251,32 см/с²,

его модуль

= 251,32 см/с².

Модуль относительного нормального ускорения

= 263,17 см/с².

Модули переносного касательного и нормального ускорений:

см/с²; ;

см/с²; .

Направление вектора кориолисова ускорения получим по правилу Жуковского, повернув вектор относительной скоростинав направлении вращения пластины. Вектор угловой скорости переносного движениянаправлен вдоль оси вращения, поэтомуи модуль кориолисова ускорения найдем так:

см/с².

Определим проекции абсолютного ускорения на оси M и Mn, для чего спроецируем на них векторное равенство (6.14),

см/с²;

см/с².

Модуль абсолютного ускорения точки М:

см/с².