Вопросы для самоконтроля

1. Какие движения твердого тела называют простейшими?

2. Каковы основные свойства поступательного движения тела?

3. Каким уравнением задают вращение тела вокруг неподвижной оси?

4. Как связаны между собой угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение тела?

5. Как направлены векторы угловой скорости и углового ускорения при вращении тела вокруг неподвижной оси?

6. Как определяют скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?

7. Как определяют ускорение точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси? Чему равны и как направлены его составляющие?

Лекция 6. Сложное движение точки

6.1. Основные определения

В 5-й лекции при рассмотрении простейших движений твердого тела было показано, как определяют скорости и ускорения точек, неизменно связанных с телом. Однако во многих задачах механики точки движутся по отношению к телам, которые сами являются подвижными. Для изучения движения таких точек удобно использовать две системы отсчета: подвижную, связанную с движущимся телом, и неподвижную.

Движение точки, одновременно рассматриваемое в неподвижной (основной) и подвижной (вспомогательной) системах отсчета, называют сложным. Движение точки относительно подвижной системы отсчета называют относительным. Скорость и ускорение точки в относительном движении называют относительной скоростью и относительным ускорением .

Движение подвижной системы отсчета по отношению к неподвижной называют переносным. Скорость и ускорение той неизменно связанной с подвижной системой отсчета точки пространства, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка, называют переносной скоростью и переносным ускорением .

Движение точки относительно неподвижной системы отсчета называют абсолютным. Скорость и ускорение точки в абсолютном движении называют абсолютной скоростью и абсолютным ускорением .

Рассмотрим в качестве примера движение человека (принимаем его за точку) по палубе поступательно движущегося теплохода. Свяжем подвижную систему отсчета с теплоходом, а неподвижную – с берегом. Тогда абсолютной будет скорость человека относительно берега, относительной – скорость человека относительно теплохода, а переносной – скорость теплохода относительно берега.

Установим зависимости между абсолютными, относительными и переносными скоростями и ускорениями точки, рассматривая случаи переносного вращательного и переносного поступательного движений.

6.2. Определение абсолютной скорости точки

Рассмотрим подвижную систему координат Oxyz, которая вращается вокруг оси OP, неподвижной в координатной системе , с угловой скоростьюи угловым ускорением(рис. 6.1). Пусть относительное движение точки задано в координатной форме:

. (6.1)

Тогда радиус-вектор точкиМ относительно начала неподвижной системы координат можно найти по формуле

(6.2)

где – орты осей подвижной системы координат, которые являются радиусами-векторами точекА, В, С, лежащих на осях этой системы на единичных расстояниях от начала координат О.

Так как подвижная система координат вращается с угловой скоростью , скорости точекА, В, С, равные производным по времени от ортов , могут быть определены по формуле Эйлера (5.21)

. (6.3)

Продифференцируем по времени равенство (6.2)

. (6.4)

В этой формуле – абсолютная скорость точкиМ, , так как

точка О неподвижна относительно системы – проекции скорости точкиМ относительно подвижной системы координат на оси этой системы, поэтому – относительная скорость точкиМ. Для преобразования трех последних слагаемых формулы (6.4) используем соотношения (6.3)

и получим переносную скорость точки М.

Таким образом, из формулы (6.4) имеем

. (6.5)

Если подвижная система Oxyz движется поступательно, то скорости всех ее точек одинаковы и равны скорости точки О. Поэтому переносная скорость , направления единичных векторовне изменяются и их производные по времени равны нулю. В этом случае из формулы (6.4) получим

или

,

что совпадает с формулой (6.5), записанной для случая переносного вращательного движения.

Таким образом, справедлива следующая теорема: «При сложном движении точки ее абсолютная скорость равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей».