5.4. Угловое ускорение твердого тела

Пусть за время t угловая скорость тела изменилась на величину , тогда среднее угловое ускорение за это же время будет равно отношению, аугловое ускорение в данный момент времени или просто угловое ускорение –

. (5.5)

Модуль углового ускорения: .

Единица измерения углового ускорения в системе СИ –

Угловое ускорение может быть представлено в виде вектора, направленного вдоль оси вращения,

. (5.6)

Модуль вектора углового ускорения: .

Вращательное движение называютускоренным, если модуль угловой скорости с течением времени увеличивается. При этом угловая скорость и угловое ускорение имеют одинаковые знаки, а векторы направлены в одну и ту же сторону (рис. 5.3,а). В случаезамедленного вращательного движения направления этих векторов противоположны (рис. 5.3,б). Так, например, ускоренное вращение тела, показанного на рис. 5.3,а слева, направлено против часовой стрелки, если смотреть на него сверху, а на рис. 5.3,а справа – по часовой стрелке.

5.5. Частные случаи вращательного движения

Вращательное движение называют равномерным, если угловая скорость тела не изменяется, т.е. = const. Интегрируя это соотношение, получим уравнение равномерного вращения

, (5.7)

где – начальный угол поворота тела.

Вращательное движение называют равнопеременным, если угловое ускорение тела не изменяется, т.е. = const, откуда после интегрирования получим

. (5.8)

Так как из выражения (5.8) следует, что , можно записать уравнение равнопеременного вращения

. (5.9)

Из двух последних равенств нетрудно получить следующее соотношение

. (5.10)

5.6. Скорость и ускорение точки тела, вращающегося вокруг

неподвижной оси

Рассмотрим точку М, находящуюся на расстоянии h от оси вращения. Эта точка движется по окружности радиусом h. Зададим движение точки M естественным способом. Начало отсчета криволинейной координаты S выберем в точке O, где окружность пересекается с неподвижной полуплоскостью (рис. 5.4). Тогда OCM =  и уравнение движения точки M примет вид:

. (5.11)

Введем естественную координатную систему Mn, орты осей и воспользуемся полученными в 4-й лекции соотношениями.

Скорость точки М:

, (5.12)

ее модуль:

. (5.13)

Ускорение точки М имеет касательную и нормальную составляющие:

. (5.14)

Касательное ускорение

, (5.15)

его модуль

. (5.16)

Нормальное ускорение

, (5.17)

его модуль

. (5.18)

Модуль ускорения точки М

. (5.19)

Угол  между вектором ускорения и осью n определим из соотношения:

. (5.20)

Так как угловая скорость и угловое ускорение характеризуют движение тела в целом, из формул (5.12)-(5.20) следует, что скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, пропорциональны расстояниям от этих точек до оси вращения, а углы  в каждый момент времени одинаковы для всех точек.

Введем в рассмотрение векторы угловой скорости , углового ускоренияи радиус-векторточкиM (см. рис. 5.4). Тогда вектор скорости может быть представлен векторным произведением

. (5.21)

Это соотношение имеет название формулы Эйлера.

Легко убедиться в справедливости формулы (5.21). Действительно, правило векторного произведения показывает, что направление вектора совпадает с направлением вектора(см. рис. 5.4). Его модуль:

.

Продифференцируем формулу Эйлера по времени:

или

. (5.22)

Покажем, что две составляющие ускорения точки в формуле (5.22) являются касательным и нормальным ускорениями:

; (5.23)

. (5.24)

Совпадение направлений векторов в левой и правой частях равенств (5.23), (5.24) проверяют по правилу векторного произведения. Их модули:

;

.

Пример. Груз 1 подвешен на нити, намотанной на барабан лебедки радиусом = 0,1 м (рис. 5.5). С барабаном жестко соединена шестерня 2 радиусом= 0,15 м, которая находится в зацеплении с шестерней 3 радиусом= 0,12 м.

Определить скорость и ускорение точки М шестерни 3, находящейся на расстоянии = 0,08 м от оси вращения в момент времениt = 0,2 с, если груз 1 движется по закону (м).

Найдем модуль скорости груза 1: . Такую же скорость имеют все точки обода барабана, поэтому модуль его угловой скорости. Скорость точки касания колес 2 и 3, откуда определим модуль угловой скорости шестерни 3

,

при t = 0,2 с:

Модуль углового ускорения шестерни 3:

.

Определим модули скорости v, касательного , нормальногои полногоа ускорений точки М:

= 10·0,08 = 0,8 м/с; = 50·0,08 = 4 м/с²;

= 10²·0,08 = 8 м/с²; = 8,94 м/с².