5.1. Поступательное движение твердого тела

Поступательным называют такое движение твердого тела, при котором прямая, соединяющая две любые точки этого тела, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.

Свойства поступательного движения твердого тела определяют следующей теоремой: «При поступательном движении твердого тела все его точки описывают одинаковые (совпадающие при наложении) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые скорости и ускорения».

Доказательство

Пусть тело движется поступательно относительно координатной системы Oxyz (рис. 5.1). Радиусы-векторы произвольных точек А и В связаны между собой соотношением

. (5.1)

Модуль вектора как расстояние между двумя точками твердого тела не изменяется и его направление остается неизменным, так как тело движется поступательно. Следовательно, вектор= const и траектория точкиВ может быть получена из траектории точки А параллельным смещением, т.е. при наложении траектории этих точек совпадают.

Продифференцируем соотношение (5.1) по времени и получим

,

где . Поэтомуили. Дифференцируя последнее соотношение по времени, запишем

или ,

что и доказывает утверждение теоремы. Из нее следует, что изучение поступательного движения тела сводится к уже рассмотренной задаче кинематики точки.

5.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Вращательным называют такое движение твердого тела, при котором все точки, лежащие на некоторой прямой, неизменно связанной с ним, остаются неподвижными в рассматриваемой системе отсчета. Эту прямую называют осью вращения. Точки тела, не лежащие на оси вращения, движутся по окружностям, лежащим в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, а их центры находятся на этой оси.

Выберем на оси вращения z (рис. 5.2) положительное направление и проведем через нее две полуплоскости: неподвижную (I) и жестко связанную с телом (II). Положение тела однозначно определяется линейным углом  двугранного угла между полуплоскостями I и II. Этот угол называют углом поворота тела. Будем считать угол поворота положительным, если с положительного направления оси вращения он виден отложенным против часовой стрелки. Зависимость угла поворота от времени

 = (t) (5.2)

называют уравнением вращательного движения тела.

Единица измерения угла поворота в системе СИ – 1 рад.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения тела в целом являются угловая скорость и угловое ускорение.

5.3. Угловая скорость твердого тела

Пусть за время t тело повернулось на угол , тогда средней угловой скоростью за это время называют отношение . Предел этого соотношения приt  0 называют угловой скоростью в данный момент времени или просто угловой скоростью

. (5.3)

Таким образом, угловая скорость равна первой производной по времени от угла поворота тела. Знак угловой скорости показывает направление вращения: при тело вращается по часовой стрелке, при– против часовой стрелки.

Модуль угловой скорости .

Единица измерения угловой скорости в системе СИ – 1 рад/с.

Угловая скорость может быть представлена в виде вектора , направленного вдоль оси вращения тела в ту сторону, с которой вращение видно происходящим против часовой стрелки. Модуль угловой скорости. Учитывая введенное правило отсчета угла, вектор угловой скорости можно представить в следующем виде:

, (5.4)

где – орт координатной осиz.