4.3. Определение скорости точки

Скорость точки характеризует изменение ее положения в рассматриваемой системе отсчета с течением времени.

4.3.1. Векторный способ. Пусть за время t точка переместилась из положения M в положение и ее радиус-вектор изменился на величину(рис. 4.3). Тогда средней скоростью точки за интервал времениt будет отношение

.

этот вектор направлен по хорде и зависит от величины интервала времениt.

Предел средней скорости

(4.5)

называют скоростью точки в данный момент времени или просто скоростью точки. В уравнении (4.5) переменная с точкой над ней обозначает производную по времени.

Итак, скорость точки – это кинематическая мера ее движения, равная производной по времени от радиус-вектора точки в рассматриваемой системе отсчета. При стремлении t к нулю точка приближается к точкеM, и хорда в пределе занимает положение касательной к траектории. Таким образом, вектор скоростинаправлен по касательной к траектории в сторону движения точки.

Единица измерения скорости в системе СИ – 1 м/с.

4.3.2. Координатный способ. Пусть движение точки задано координатным способом (4.2), тогда ее радиус-вектор . Учитывая, что ортыпостоянны, из уравнения (4.5) получим

.

Таким образом, запишем проекции вектора скорости на координатные оси:

. (4.6)

По этим проекциям можно определить модуль вектора скорости

(4.7)

и его направляющие косинусы, т.е. косинусы углов между вектором скорости и положительными направлениями координатных осей:

. (4.8)

4.3.3. Естественный способ. Пусть точка движется по известной траектории, и ее положение определяется криволинейной координатой S (рис. 4.4). Предположим, что за время t радиус-вектор точки получил приращение , а координатаS – приращение S. Определим скорость точки

. (4.9)

Рассмотрим вектор. Его модуль равен пределу отношения длины хордык длине стягиваемой ею дуги:

.

Направление вектора совпадает с направлениемпри движении точки в сторону увеличения координатыS (S  0) и противоположно при движении в противоположную сторону (S  0). Таким образом, вектор всегда направлен по касательной к траектории в сторону увеличения координатыS, т.е. он является единичным вектором касательной к траектории точки

. (4.10)

На основании этого из уравнения (4.9) получим

. (4.11)

Скалярную величину называюталгебраической скоростью точки. Она представляет собой проекцию вектора скорости на касательную к траектории. Знак алгебраической скорости определяет направление движения точки: при  0 она движется в сторону увеличения координаты S, при  0 – в противоположную сторону. Модуль вектора скорости .

4.4. Определение ускорения точки

Ускорение точки характеризует изменение ее скорости в рассматриваемой системе отсчета с течением времени.

4.4.1. Векторный способ. Пусть за время t точка переместилась из положения M, где она имела скорость , в положение, где ее скорость стала равной(рис. 4.5). Вектор скорости получил приращение. Средним ускорением точки за интервал времениt называют отношение . Предел среднего ускорения

(4.12)

называютускорением точки в данный момент времени или просто ускорением точки.

Таким образом, ускорение точки – это мера изменения ее скорости, равная производной по времени от скорости точки в рассматриваемой системе отсчета. Так как Вектор среднего ускорения лежит в плоскости, образуемой векторамии. При уменьшенииt точка приближается к точкеМ, и плоскость векторов изменяет свое положение в пространстве, поворачиваясь вокруг вектора. Предельное положение этой плоскости называютсоприкасающейся плоскостью кривой в точке М (см. рис. 4.2, плоскость Мn). Следовательно, вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории (см. рис. 4.5).

Единица измерения ускорения в системе СИ – .

4.4.2. Координатный способ. Представим вектор скорости в виде . Тогда, учитывая неизменность ортов, в соответствии с формулой (4.12) получим ускорение

и его проекции:

. (4.13)

По проекциям ускорения определим его модуль

(4.14)

и направляющие косинусы:

. (4.15)

4.4.3. Естественный способ. Представим вектор скорости в виде (4.11) , тогда из формулы (4.12) получим

. (4.16)

Определим модуль и направление вектора , для чего рассмотрим два случая.

Случай 1. Точка М движется в сторону увеличения координаты S (рис. 4.6,а). За время t она перемещается из положения М в положение , при этом ее координата увеличивается на величинуS, а вектор получает приращение, направленное в сторону вогнутости траектории. Векторнаправлен перпендикулярно векторув сторону вогнутости траектории и лежит в соприкасающейся плоскости. Векторимеет такое же направление, так как координатаS возрастает, при этом .

Случай 2. Точка М движется в сторону уменьшения координаты S (рис. 4.6,б). Вектор , а вместе с ним и вектор, направлены в сторону выпуклости траектории. Векторимеет противоположное направление, так как. Таким образом, векторвсегда направлен по главной нормали к траектории в сторону вогнутости и может быть представлен в виде:

. (4.17)

Определим модуль вектора . Учитывая, чторавнобедренный (см. рис. 4.6,а) и, получим

. (4.18)

Из формул (4.17) и (4.18) следует

.

откуда, учитывая, что , гдеk – кривизна, а ρ – радиус кривизны траектории в данной точке, получим

. (4.19)

Подставим (4.19) в (4.16)

. (4.20)

Таким образом, вектор ускорения имеет две составляющие: касательную и нормальную.

Касательное ускорение

(4.21)

направлено по касательной к траектории в сторону увеличения координаты S, если алгебраическая скорость точки возрастает, или в сторону уменьшенияS, если убывает. Проекция касательного ускорения на ось:

. (4.22)

Нормальное ускорение

(4.23)

всегда направлено по нормали к траектории в сторону вогнутости, его проекция на ось n:

. 4.24)

Так как  (рис. 4.7), модуль вектора ускорения находим по формуле

. (4.25)

Касательное ускорение характеризует изменение скорости точки по модулю, а нормальное – по направлению.

Касательное ускорение равно нулю:

1) если точка движется с постоянной алгебраической скоростью;

2) в те моменты времени, когда скорость принимает экстремальные значения.

Нормальное ускорение равно нулю:

1) при прямолинейном движении ( = );

2) в точках перегиба траектории ( = );

3) в те моменты времени, когда скорость точки равна нулю.