3.4. Применение теоремы об изменении кинетического

момента механической системы

Пример 6. Ступенчатый барабан 2 массой вращается под действием приложенных к нему постоянных моментов= 800 Н∙м и= 110 Н∙м (момент сопротивления в подшипниках), показанных на рис. 3.8. Радиусы окружностей ступеней барабана соответственно и, его момент инерции относительно оси вращения, перпендикулярной к плоскости,. Через окружности ступеней барабана перекинут нерастяжимый трос, на концах которого закреплены грузы 1 и 3, их массыисоответственно. Груз 1 опускается вертикально, а груз 3 поднимается по шероховатой наклонной плоскости, расположенной под углом α =к горизонту. Коэффициент трения скольжения груза 3 о наклонную плоскость.

Определить угловое ускорение барабана, ускорения грузов и реакции троса в местах крепления грузов.

Решение

Механическая система, состоящая из барабана и двух грузов, показана в текущем положении (см. рис. 3.8) со всеми внешними силовыми факторами , действующимина нее. Оськоординат Ozсовпадает с осью вращения барабана. Запишем выражения для теоремы об изменении кинетического момента системы в векторной форме и в проекции на эту ось:

.

Теперь вычислим проекцию кинетического момента системы на ось Ozпо формуле

,

где

,

откуда найдем

.

Далее определим алгебраическую сумму моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно оси Oz

где

;

;

,

так как силуразложили на две составляющиеи;

.

В данном случае сила трения перенесена в точку приложения силы тяжести, а компенсирующая этот перенос пара сил уравновешена реакциями опор груза 3. Подставляя в алгебраическую сумму в полученные выражения, определим

.

Теперь найдем первую производную от проекции кинетического момента на ось Oz:

.

Подставляя полученные результаты в выражение для теоремы об изменении кинетического момента системы, окончательно запишем

.

Из этого уравнения определим угловое ускорение барабана 2 и ускорения грузов 1, 3

;

;

.

Найдем реакции двух ветвей троса (см. рис. 3.8 и 3.9)

;

;

Пример 7. Два невесомых стержня с точечными грузами на концах массой m и длиной l каждый закреплены шарнирами на вертикальном валу (рис. 3.10). Вал при горизонтальном расположении стержней вращается с угловой скоростью , его момент инерции относительно оси вращенияІ. В некоторый момент времени стержни начинают отклоняться от горизонтального положения, составляя с горизонталью угол α.

Определить угловую скорость вала в зависимости от угла α. Сопротивление воздушной среды, подшипника и подпятника, в которых установлен вал, не учитывать.

Решение

Приложим к рассматриваемой механической системе, состоящей из вала и стержней с грузами, все внешние силы , действующие на эту систему. ОсьАzсовпадает с осью вращения вала. Запишем выражение для теоремы об изменении кинетического момента системы в векторной форме и в проекциях на осьАz:

;

;

.

Так как линии действия сил тяжести параллельны осиАz, а реакции подпятникаи подшипникапересекают ее, тои, следовательно, имеет место закон сохранения кинетического момента системы относительно осиАz, т.е..

Кинетический момент системы при горизонтальном расположении стержней определим суммой

.

Абсолютная скорость каждого из грузов

.

Так как линия действия вектора пересекает осьАz, то составляющие кинетического момента относительно оси вращения от относительного движения грузов равны нулю, поэтому

;.

Кинетический момент системы при отклонении стержней на угол α определим суммой

,

где

;.

Приравнивая выражения для проекций кинетических моментов и, окончательно получим

,

откуда найдем угловую скорость вала

.