1.8. Сложение вращений вокруг параллельных осей

Во многих случаях твердое тело совершает сложное движение, состоящее из двух вращений, причем и переносным и относительным движениями являются вращения вокруг параллельных осей. Тогда результирующим движением будет вращение вокруг мгновенной оси. Исключение составляет пара вращений, когда результирующее движение поступательное.

1.8.1. Вращения, направленные в одну сторону

Рассмотрим случай, когда угловые скорости переносного и относительного вращений направлены в одну сторону (рис. 1.23,а)

Как видно, движение тела является в результате плоскопараллельным и оно может быть сведено к вращению вокруг мгновенной оси, описывающей в общем случае цилиндрическую поверхность. Мгновенная ось проходит через точку С. Приведем формулы, определяющие угловую скорость результирующего движения и положение мгновенной оси вращения:

Таким образом, если вращения вокруг параллельных осей направлены в одну сторону, то результирующее движение является мгновенным вращением с угловой скоростью , а точкаС, через которую проходит мгновенная ось вращения, делит расстояние между осями внутренним образом на отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям составляющих вращений.

1.8.2. Вращения, направленные в противоположные стороны

Рассмотрим случай, когда угловые скорости переносного и относительного вращений направлены в противоположные стороны (см. рис. 1.23,б), при этом угловые скорости не равны (пусть ). Здесь движение тела в результате также является плоскопараллельным и может быть сведено к вращению вокруг мгновенной оси, проходящей через точкуС. Приведем формулы, определяющие угловую скорость результирующего движения и положение мгновенной оси вращения:

Таким образом, если вращения вокруг параллельных осей направлены в противоположные стороны, то результирующее движение также является мгновенным вращением с угловой скоростью , а точкаС, через которую проходит мгновенная ось вращения, делит расстояние между осями внешним образом на отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям составляющих вращений.

1.8.3. Пара вращений

Пусть вращения вокруг параллельных осей направлены в противоположные стороны, а угловые скорости этих вращений равны. Как видно из рис. 1.23,б, скорости точек АиBодинаковы, мгновенный центр скоростей (точкаС) находится в бесконечном удалении от этих точек, а угловая скорость результирующего движения равна нулю. Таким образом, тело движется поступательно (или мгновенно поступательно). Скорости всех точек тела одинаковы:. Величину, определяющую скорости точек тела, называютмоментом пары вращений. Примером пары вращений является движение педали велосипеда (рис. 1.24).

Пример. Определить угловую скорость колеса 2 (см. п. 1.4, пример 2, рис. 1.14). Колесо 2 участвует в двух вращениях, из которых переносное – вращение кривошипа ОА, а относительное – вращение вокруг точки А. Колесо 1 также можно считать участвующим в двух вращениях, из которых переносное это тоже вращение кривошипа, а относительное – по отношению к кривошипу. Другими словами, если рассматривать только относительные вращения, то оба колеса вращаются с относительными угловыми скоростями вокруг неподвижных осей. Тогда между их относительными угловыми скоростями имеется следующая связь: , где,. Здесь применено правило знаков: направление вращения против часовой стрелки считается положительным, а по часовой – отрицательным. Подставляя выражения для относительных угловых скоростей в связывающие их зависимости, получим, что, откуда находим искомую угловую скорость

.

Рассмотренный метод называют методом Виллиса или методом остановки кривошипа и используют при расчетах планетарных и дифференциальных передач.