
- •В.М. Адашевский, г.О. Анищенко, ю.Л. Тарсис
- •Введение
- •1. Кинематика
- •1.1. Основные понятия и задачи кинематики
- •1.2. Кинематика точки
- •1.3. Кинематика твердого тела
- •1.4. Плоскопараллельное движение твердого тела
- •1.5. Движение тела с одной неподвижной точкой
- •1.6. Движение свободного твердого тела
- •1.7. Сложное движение точки
- •1.8. Сложение вращений вокруг параллельных осей
- •1.9. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей
- •Вопросы для самоконтроля
- •2. Статика
- •2.1. Основные понятия статики
- •2.2. Аксиомы статики
- •2.3. Связи и реакции связей
- •2.4. Система сходящихся сил. Условие равновесия системы сходящихся сил
- •2. 5. Решение задач статики
- •Решая полученную систему уравнений, находим, что
- •2.6. Момент силы относительно центра
- •– Модуля силы || и длины плечаh;
- •2.7. Момент силы относительно оси
- •2.8. Пара сил и момент пары сил
- •2.9. Привидение произвольной системы сил
- •2.10. Условие равновесия плоской системы сил
- •Решение Воспользуемся последовательностью решения задач, описанной в подразделе 2.2:
- •2.11. Условие равновесия произвольной пространственной
- •Определить силу и реакции подшипниковА и в в положении равновесия. Решение
- •Вопросы для самоконтороля
- •3. Динамика
- •3.1. Основные понятия. Законы динамики
- •3.2. Основное уравнение динамики точки.
- •3.3. Механическая система. Центр масс механической
- •3.4. Количество движения, момент количества движения (кинетический момент), кинетическая энергия точки
- •3.5. Импульс силы. Работа силы
- •3.6. Общие теоремы динамики точки и системы
- •3.7. Принцип Даламбера
- •3.8. Элементы аналитической механики
- •Вопросы для самоконтроля
- •Рекомендуемая Литература
- •Содержание
- •Загальний курс теоретичної механіки
- •61002, Харків, вул. Фрунзе, 21
1.8. Сложение вращений вокруг параллельных осей
Во многих случаях твердое тело совершает сложное движение, состоящее из двух вращений, причем и переносным и относительным движениями являются вращения вокруг параллельных осей. Тогда результирующим движением будет вращение вокруг мгновенной оси. Исключение составляет пара вращений, когда результирующее движение поступательное.
1.8.1. Вращения, направленные в одну сторону
Рассмотрим случай, когда угловые скорости переносного и относительного вращений направлены в одну сторону (рис. 1.23,а)
Как видно, движение тела является в результате плоскопараллельным и оно может быть сведено к вращению вокруг мгновенной оси, описывающей в общем случае цилиндрическую поверхность. Мгновенная ось проходит через точку С. Приведем формулы, определяющие угловую скорость результирующего движения и положение мгновенной оси вращения:
Таким
образом, если вращения вокруг параллельных
осей направлены в одну сторону, то
результирующее движение является
мгновенным вращением с угловой скоростью
,
а точкаС,
через которую проходит мгновенная ось
вращения, делит расстояние между осями
внутренним образом на отрезки, обратно
пропорциональные угловым скоростям
составляющих вращений.
1.8.2. Вращения, направленные в противоположные стороны
Рассмотрим
случай, когда угловые скорости переносного
и относительного вращений направлены
в противоположные стороны (см. рис.
1.23,б), при этом угловые скорости не равны
(пусть
).
Здесь движение тела в результате также
является плоскопараллельным и может
быть сведено к вращению вокруг мгновенной
оси, проходящей через точкуС.
Приведем формулы, определяющие угловую
скорость результирующего движения и
положение мгновенной оси вращения:
Таким
образом, если вращения вокруг параллельных
осей направлены в противоположные
стороны, то результирующее движение
также является мгновенным вращением с
угловой скоростью
,
а точкаС,
через которую проходит мгновенная ось
вращения, делит расстояние между осями
внешним образом на отрезки, обратно
пропорциональные угловым скоростям
составляющих вращений.
1.8.3. Пара вращений
Пусть
вращения вокруг параллельных осей
направлены в противоположные стороны,
а угловые скорости этих вращений равны.
Как видно из рис. 1.23,б, скорости точек АиBодинаковы, мгновенный центр
скоростей (точкаС) находится в
бесконечном удалении от этих точек, а
угловая скорость результирующего
движения равна нулю. Таким образом, тело
движется поступательно (или мгновенно
поступательно). Скорости всех точек
тела одинаковы:.
Величину
,
определяющую скорости точек тела,
называютмоментом пары вращений.
Примером пары вращений является движение
педали велосипеда (рис. 1.24).
Пример.
Определить угловую скорость колеса 2
(см. п. 1.4, пример 2, рис. 1.14). Колесо 2
участвует в двух вращениях, из которых
переносное – вращение кривошипа ОА,
а относительное – вращение вокруг точки
А.
Колесо 1 также можно считать участвующим
в двух вращениях, из которых переносное
это тоже вращение кривошипа, а относительное
– по отношению к кривошипу. Другими
словами, если рассматривать только
относительные вращения, то оба колеса
вращаются с относительными угловыми
скоростями вокруг неподвижных осей.
Тогда между их относительными угловыми
скоростями имеется следующая связь:
,
где
,
.
Здесь применено правило знаков:
направление вращения против часовой
стрелки считается положительным, а по
часовой – отрицательным. Подставляя
выражения для относительных угловых
скоростей в связывающие их зависимости,
получим, что
,
откуда находим искомую угловую скорость
.
Рассмотренный метод называют методом Виллиса или методом остановки кривошипа и используют при расчетах планетарных и дифференциальных передач.