1.2. Действия над комплексными числами

Равенство двух комплексных чисел z₁= x₁ + iy₁ и z₂ = x₂ + iy₂ означает равенство их действительных и мнимых частей: .

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме определяются следующим образом. Если z₁= x₁ + iy₁,

z₂ = x₂ + iy₂, то

1) z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + i(y₁ + y₂);

2) z₁ – z₂ = (x₁ – x₂) + i(y₁ – y₂);

3) z₁ z₂ = (x₁x₂ – y₁y₂) + i(x₁y₂ + х₂y₁);

4) .

Пример 3. Даны числа z₁= 4 – i и z₂ = 1 + 3i. Вычислить .

Найдем , затем выполняем деление при помощи домножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю:

(при вычислениях учтено, что ).

Умножение, деление, возведение в натуральную степень и извлечение корня из комплексных чисел в тригонометрической форме определяются следующим образом:

если , , то

1) ;

2) ;

если , , то

3) ; (15)

4) .

В ответ записываются главные значения аргумента полученного результата, заключенные в промежутке .

2. Функции комплексной переменной

2.1. Определение и свойства функции комплексной переменной

Пусть даны две плоскости комплексных чисел и на первой – множество D комплексных чисел z = x + iy, где i – мнимая единица (i² = –1), на второй – множество G комплексных чисел w = u +iv.

Если каждому числу по некоторому правилу f поставлено в соответствие определенное число , то говорят, что на множестве D задана функция комплексной переменной (ФКП), отображающая множество D в множество G. Обозначается: w = f (z).

Множество D называется областью определения ФКП.

Функцию w = f (z) можно представить в виде

f (z) = u(x, y) + iv(x, y),

где u(x, y) – действительная часть ФКП, v(x, y) – мнимая часть ФКП, обе они – действительные функции от x, y.

Пример 4. . Здесь = x – iy – число, сопряженное числу z= x+iy.

Выделим действительную и мнимую части ФКП:

u = x² – y² – 2x; v = 2xy + 2y.

Вычислим значение функции w в точке z₁ = 2 – 3i:

.

Тот же результат получаем непосредственной подстановкой:

.

Говорят, что ФКП f (z) = u(x, y) +iv(x, y) имеет предел в точке z₀, равный числу A = a + ib, если . Обозначается: .

Существование предела ФКП w = f (z) при в означает существование двух пределов: .

ФКП f (z) = u(x, y) +iv(x, y) называется непрерывной в точке z₀, если выполняется условие: .

Непрерывность ФКП w = f (z) в точке z₀ = x₀ + iy₀ эквивалентна непрерывности функций u(x, y) и v(x, y) в точке (x₀, y₀).

2.2. Дифференцирование фкп. Аналитические фкп

Производной от функции комплексной переменной w = f (z) в точке z₀ называется предел:

,

где , и произвольным образом.

Функцию w = f (z), дифференцируемую в точке z₀ и некоторой ее окрестности, называют аналитической, или регулярной функцией в точке z₀.

Точки, в которых ФКП не является аналитической, называют особыми точками этой функции.

Для того, чтобы функция f (z) = u(x, y) +iv(x, y) была аналитической в области D необходимо и достаточно, чтобы частные производные 1-го порядка функций u(x, y) и v(x, y) были непрерывны в этой области и выполнялись бы условия:

, (10)

называемые условиями Эйлера-Даламбера, или условиями Коши-Римана.

Пример 5. Проверить аналитичность ФКП .

 u = x² – y² – 2x; v = 2xy + 2y (см. пример 1). Проверим выполнение условий Коши-Римана:

.

Условия (10) не выполняются, следовательно, эта функция не является аналитической.

Пример 6. Проверить аналитичность ФКП .

Выделим действительную и мнимую части функции:

.

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

.

Условия выполняются во всех точках, кроме особой точки (0, 0), в которой функции и u(x, y) и v(x, y) не определены. Следовательно, функция аналитическая при .

Если функция w = f (z) аналитическая в области D, то ее производную можно найти, используя правила дифференцирования, аналогичные правилам дифференцирования функции одной действительной переменной.

Пример 7. Вычислить значение производной функции в точке

z₀ = – 1+ i.

Функция – аналитическая, а значит, дифференцируемая во всей своей области определения (см. пример 3). Ее производная:

.

Вычислим значение производной в точке z₀ = – 1+ i:

Следовательно, .

Задача 1. Даны уравнение , комплексное число и натуральное число n = 6. Требуется:

1. найти корни уравнения z_1, z₂ на множестве комплексных чисел;

2. найти комплексное число в алгебраической форме;

3. получить тригонометрическую форму числа и вычислить с ее помощью . Ответ записать в тригонометрической и в алгебраической формах.

Решение задачи 1.

1. Найдем корни уравнения на множестве комплексных чисел:

(здесь использовано: ).

1. Чтобы найти комплексное число , вычислим сначала :

( – это число, сопряженное числу , т.е. ).

Затем находим числитель и знаменатель .

Теперь вычисляем w, используя домножение числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю:

– получили число w в алгебраической форме.

2. Комплексное число задано в алгебраической форме , где x = 1, y = . Получим тригонометрическую форму этого числа

, используя формулы (13) и (14). Вычислим модуль комплексного числа и его аргумент:

Таким образом, – тригонометрическая форма числа z₀.

Для вычисления используем формулу (15) возведения комплексного числа в натуральную степень:

.

Здесь аргумент . Выбираем главное значение аргумента, принадлежащее промежутку , используя формулу (11): при n = – 1 получаем . Тригонометрическая форма комплексного числа для имеет вид:

.

Подставив значения cos0 = 1, sin0 = 0, получим алгебраическую форму этого числа:

Ответы: 1) 2) ; 3) ;

= 64.

Задача 2. Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z₀ = – 1 + 3i. Требуется:

1. представить функцию в виде w = u(x, y) +iv(x, y), выделив ее действительную и мнимую части;

2. проверить, является ли функция w аналитической;

3. в случае аналитичности функции w найти ее производную w′ в точке z₀.

Решение.

1) Выделим действительную и мнимую части функции:

.

2) Чтобы установить аналитичность функции w, проверим выполнение условий Коши-Римана (10):

Получили: . Условия Коши-Римана выполняются во всех точках, кроме особой точки z = 2i, в которой функции x = 0, y = 2 и функции u(x, y) и v(x, y) не определены. Следовательно, функция – аналитическая при .

3) Найдем производную функции:

.

Вычислим значение производной функции в точке z₀ = – 1 + 3i.

Ответы:

1) ;

2) функция аналитическая при ;

3) .