2.6. Проверка статистических гипотез
Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или о параметрах неизвестного распределения генеральной совокупности.
Не располагая сведениями обо всей генеральной совокупности, высказанную гипотезу сопоставляют по определенным правилам с выборочными данными и делают вывод о том, можно принять гипотезу или нет. Эта процедура сопоставления называется проверкой гипотезы.
Рассмотрим этапы проверки гипотезы и используемые при этом понятия.
1.
Располагая выборочными данными и
руководствуясь конкретными условиями
рассматриваемой задачи, формулируют
гипотезу
,
которую
называют основной
или нулевой,
и гипотезу
,
конкурирующую с
гипотезой
.
Гипотезу
называют также альтернативной,
она является логическим отрицанием
гипотезы
.
Выбор тех или иных нулевых или
альтернативных гипотез определяется
решаемыми исследователем прикладными
задачами.
2. Задается вероятность , которую называют уровнем значимости.
Уровень значимости определяет вероятность так называемой ошибки первого рода, которая совершается при отвержении гипотезы , т.е. принимается конкурирующая гипотеза , тогда как на самом деле гипотеза верна. Вероятность задается заранее малым числом: 0,1; 0,05, 0,001 и т.д.
3.
Выбирается статистический критерий
проверки гипотезы –
.
Статический
критерий – это
случайная величина, закон распределения
которой при условии справедливости
проверяемой гипотезы
известен.
После
выбора критерия множество всех его
возможных значений разбивают на два
непересекающихся подмножества: одно
из них содержит значения критерия, при
котором нулевая гипотеза отвергается
– критическая
область
,
а другое содержит те значения критерия,
при которых гипотеза принимается –
область
принятия гипотезы.
Критическими
точками
называются точки, отделяющие критическую
область от области принятия гипотезы.
Различают
одностороннюю (правостороннюю или
левостороннюю) и двустороннюю критические
области. Правосторонней
(левосторонней)
называют
критическую область, определяемую
неравенством
(
).
Двусторонней
называют
критическую область, определяемую
неравенствами
.
4. По результатам эксперимента находят эмпирическое (наблюдаемое) значение статистического критерия . Если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают в пользу конкурирующей гипотезы; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то нулевую гипотезу принимают.
5. Результат проверки гипотезы формулируется следующим образом: гипотеза проверена по критерию на уровне значимости и принята (не противоречит имеющимся экспериментальным данным) или отвергнута.
Пример.
Проверка
гипотезы о равенстве средних двух
нормально распределенных совокупностей
с неизвестными, но равными дисперсиями
по малым выборкам (
)
Пусть
имеются две нормально распределенные
генеральные совокупности
и
,
характеризуемые генеральными средними
и
.
Для проверки гипотезы из этих совокупностей
берутся две независимые выборки объемов
и
,
по которым находят выборочные средние
,
и исправленные выборочные дисперсии
,
.
1.
Нулевая гипотеза
:
.
Альтернативная
гипотеза
:
а)
(
);
б)
.
2. Уровень значимости .
3.
Статистический критерий:
(22)
Критерий
имеет распределение Стьюдента с
степенями свободы.
а) При
альтернативной гипотезе
(
)
критическая область является односторонней
и определяется неравенством
.
Критическая точка определяется по
таблице значений
распределения Стьюдента, где
,
.
б) При
альтернативной гипотезе
критическая область является двусторонней
и определяется неравенством
.
Критическая точка определяется по
таблице значений
распределения Стьюдента, где
,
.
4. По формуле (22) определяем эмпирическое значение -критерия.
Гипотеза
принимается, если: а)
;
б)
.
5. Делается вывод о результатах проверки гипотезы .