Ряды Фурье

1. Тригонометрические ряды

Функция , определенная на неограниченном множестве , называется периодической, если существует число такое, что для каждого выполняется условие:

, где

Замечание: Наименьшее из таких чисел называется периодом функции .

Примеры

1. Функция , определенная на интервале , является периодической, так как существует число такое, что для всех выполняется условие Таким образом, функция имеет период . Аналогично исследуется функция .

2. Функция , определенная на множестве чисел является периодической, так как существует число а именно, такое, что для имеем

Функциональный ряд вида

(1)

называется тригонометрическим рядом, а постоянные называются коэффициентами тригонометрического ряда (1).

Частичные суммы тригонометрического ряда (1) являются линейными комбинациями функций из системы функций которая называется тригонометрической системой. Так как членами этого ряда являются периодические функции с периодом , то в случае сходимости ряда (1) его сумма будет периодической функцией с периодом :

Разложить периодическую функцию с периодом в тригонометрический ряд (1) означает найти сходящийся тригонометрический ряд, сумма которого равна функции .

2. Ортогональность тригонометрической системы

Функции , непрерывные на отрезке , называются ортогональными на этом отрезке, если выполнено условие

Примеры

Функции ортогональны на отрезке , так как

Конечная или бесконечная система функций

интегрируемых на отрезке , называется ортогональной системой на этом же отрезке, если для любых номеров таких, что выполняется равенство

Теорема №1.

Тригонометрическая система

ортогональна на отрезке .

Доказательство

При любом целом имеем

С помощью известных формул тригонометрии

для любых натуральных находим:

Наконец, в силу формулы

для любых целых получаем

При имеем

Что и требовалось доказать.

3. Тригонометрический ряд Фурье

Поставим себе задачей вычислить коэффициенты тригонометрического ряда (1), зная функцию

Теорема №2.

П

(1)

(2)

усть равенство

имеет место для всех значений x, причем ряд в правой части равенства сходится равномерно на отрезке . Тогда справедливы формулы:

Доказательство

Из равномерной сходимости ряда (1) вытекает непрерывность, а значит, и интегрируемость функции . Поэтому равенства (2) имеют смысл. Более того, ряд (1) можно почленно интегрировать.

Имеем

или

откуда и следует первая из формул (2) для

У

(3)

множим теперь обе части равенства (1) на функцию произвольное натуральное число:

Ряд (3), как и ряд (1), сходится равномерно. Поэтому его можно интегрировать почленно,

Все интегралы в правой части, кроме одного, который получается при , равны нулю в силу ортогональности тригонометрической системы. Поэтому

откуда

Аналогично, умножая обе части равенства (1) на и интегрируя от , получим

откуда

Что и требовалось доказать.

Пусть дана произвольная периодическая функция периода 2π, интегрируемая на отрезке . Можно ли её представить в виде суммы некоторого сходящегося тригонометрического ряда, заранее неизвестно. Однако по формулам (2) можно вычислить постоянные и .

Тригонометрический ряд

Коэффициенты которого определяется через функцию по формулам

Называется тригонометрическим рядом Фурье функции , а коэффициенты , определяемые по этим формулам, называются коэффициентами Фурье функции

Каждой интегрируемой на отрезке функции можно поставить в соответствие ее ряд Фурье

Т.е. тригонометрический ряд, коэффициенты которого определяются по формулам (2). Однако если от функции не требовать ничего, кроме интегрируемости на отрезке , то знак соответствия в последнем соотношении, вообще говоря, нельзя заменить знаком равенства.

Замечание. Часто требуется разложить в тригонометрический ряд функцию , определенную только на отрезке и, следовательно, не являющуюся периодической. Так как в формулах (2) для коэффициентов Фурье интегралы вычисляются по отрезку то такой функции тоже можно написать тригонометрический ряд Фурье. Вместе с тем, если продолжить функцию периодически на всю ось Оx, то получим функцию на интервале :

Эту функцию называют периодическим продолжением функции . При этом функции не имеет однозначного определения в точках

Ряд Фурье для функции тождественен ряду Фурье для функции . К тому же, если ряд Фурье для функции с отрезка на всю ось Ox . В этом смысле говорить о ряде Фурье для функции , определенной на отрезке , равносильно тому, что говорить о ряде Фурье для функции , являющейся периодическим продолжением функции на всю ось Ox. Отсюда следует, что признаки сходимости рядов Фурье достаточно сформулировать для периодических функций.