Лекция № 4 Погрешности результатов измерений и их оценка

4.1. Погрешности результатов измерений.

4.2. Оценка погрешностей результатов измерений.

4.1. Любое измерение является процессом, которое предполагает наличие следующих факторов:

-погрешности объекта измерений;

-личные погрешности оператора;

-инструментальные погрешности,

-погрешности метода, (эмпирические формулы и прочие),

-погрешности внешней среды (освещенность, температура, вибрация и т.д.)

Измерения считаются равноточными, если все перечисленные факторы и их влияние на процесс измерений примерно одинаковы в течение всего периода выполнения измерений. При неодинаковых факторах результаты будут неравноточными.

Разность между измеренными Xi и истинным (действительным номинальным, проектным) значением физической величины Х называет­ся истинной (действительной) абсолютной погрешностью.

Δ = Xi - Х

АБСОЛЮТНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ измерений, как правило, состоят из 2-х компонентов: систематической  и случайной .

СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ - имеют определенный знак и на­капливаются по определенному функциональному закону в результате односторонне действующих факторов. Они должны исключаться из результатов путем введения поправок.

СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ - возникающие в результате несовершенства техники и методов измерений, изменением внешних условий, за счет округления чисел при отсчетах и т.п.

При проведении измерений следует придерживаться следующих правил:

- если систематическая погрешность является определяющей, т.е. её величина существенно больше случайной погрешности присущей данному методу, то достаточно выполнить измерения дважды, т.к. увеличение их числа не повысит точность конечного результата,

- если систематические погрешности меньше случайных, то, увеличивая число измерений, можно получить результат, точность которого будет выше, чем точность одного измерения.

В качестве наилучшего (более надежного) значения истинной физической величины принимают среднее арифметическое Х которого будет выше, чем точность одного измерения.

В качестве наилучшего (более надежного) значения истинной физической величины принимают среднее арифметическое из результатов Xi:

Xi = ⁿ (Xi/n) (1)

где n - количество измерений одной и той не величины.

Мерой точности измерений служит среднее квадратичное отклонение:

S =  ⁿ²/ n (2)

_i -абсолютные погрешности.

Если неизвестно номинальное или действительное значение измеряемой величины, среднее квадратичное отклонение определяют по формуле:

S =  ⁿ²/ (n-1) (3)

_i = Xi – X (4)

где _i - разность между измеренным значением физической величины Xi и средним арифметическим X.

Всегда имеет место равенство

ⁿ ² =0 (5)

которое используется для контроля вычислений среднего арифметического.

При увеличении числа измерений среднее квадратичное отклонение стремится к своему статистическому пределу , так называемого стандартного распределения погрешностей:

limS_n =  = const (6)

n

Среднее квадратичное отклонение является оценкой стандарта с той или иной степенью точности в зависимости от числа измерений.

Точность получения среднего квадратичного отклонения определяется формулой:

Ss = S/2(n-1) (7)

Значение средне квадратичного отклонения может быть вычислено по результатам многократных измерений или устанавливаться по имеющемуся опыту аналогичных измерений.

Степень неравноточности результатов измерений определяется их весом.

В качестве веса принимают величину Р, обратную квадрату средне квадратичного отклонения .

Р = С/² = С/²

где С - произвольная постоянная, выбираемая из расчета удобства оперирования числовыми значениями весов.

Для неравноточных измерений среднее арифметическое Х и среднее квадратичное отклонение определяются в соответствии с формулами:

X = ⁿ p_i X_i / ⁿ p_i

S = ⁿ p_i² / (n-1) (8)

Формулы (2),(3) являются частными случаями формул (8), при

P₁=P₂= … P_i =1.

Точность среднего арифметического характеризуется средним

квадратичным отклонением S:

S_x = S/ n = ⁿ²/ (n (n-1)) (9)

Оценки X, S измеренной величины Х и стандарта , записанные в форме

Х =Х; =S (10)

называются точечными оценками.

Когда требуется в записи точность получения результатов, среднее значение измеренной величины представляют в форме интервальных оценок.

X=X  S_x; = S S_s (11)

или

X - S_x  X  X+S_x ; S- Ss   S + Ss (12)

Интервальные оценки указывают вероятность нахождения измеренной величины Х и среднего квадратичного отклонения  в заданных пределах и в общем случае записываются в виде неравенств:

P{X- (t₂Sx)  X  X+ t₂Sx} =;

P{₁S    _xS_s} =;

где X – истиное значение измеряемой величины;

t - коэффициент, зависящий от вида закона распределения погрешностей измиряемой величины и количества измерений;

- стандарт распределения погрешностей характеризующий точность измерений;

S_s – среднее квадратичное отклонение (оценка стандарта);

₁ - коэффициент, зависящий от количества измерений;

 - доверительная вероятность.

Коэффициенты t₂ и _x находят по специальным таблицам.

Если значения измеряемой величины находятся по двум результатам измерений, то среднее квадратичное отклонение каждого результата для равноточных измерений определяется по формуле:

S = ⁿ d² / 2n (13)

погрешность среднего из 2-х результатов:

Sx = ⁿ d² / 4n (14)

где di - разность 2-х результатов измерения одной и той же величины;

n - число пар результатов.

Измеряемые при контроле качества и испытаниях строительных конструкций параметры должны лежать в определенных пределах. Разность между наибольшими и наименьшими значениями параметров:

Δ= Хmах – Xmin (15)

называется допуском.

ДОПУСК - величина положительная.

Допуск Δ со стандартом  и средним квадратичным отклонением S связан соотношением:

Δ/2 = t  tS (16)

в котором коэффициент t устанавливается в зависимости от принятой вероятности (надежности).

Выражение Sпp = t* = t*S - называется предельным средним квадратичным отклонением.

Соответственно выражение S^верх_пр= +t*S; S^ниж_пр =-t*S называются верхними и нижними предельными отклонениями.

Из положений теорий погрешности и математической статистики выводится общая формула оценки точности любой функции нескольких переменных, которая применима для всех видов измерений:

Sy = (df/dx₁)² * S_x1² + (df/dx₁)² * S_x2² + … + (df/dx_n)² * S_xn² (17)

где (df/dx_n) - частные производные по переменной функции;

y = f(x₁x₂…x_n) _xi ² - оценки квадрата квадратичных отклонений (дисперсий), входящих в функцию n переменных (измеряемых) величин.

4.2. Результат измерения всегда содержит некоторую погрешность. Поэтому в задачу измерений входит не только нахождение значений искомых величин, но и оценка погрешности, точности и достоверности измерений.

Погрешность измерения - это степень приближения результата измерения к истинному значению.

Достоверность измерения - это вероятность отклонения результата измерения от истинного значения величины.

Погрешности измерений можно разделить на три группы: систематические, случайные и промахи (грубые ошибки).

Систематические погрешности - это такие погрешности, которые остаются постоянными или изменяются по определенному закону при многократном повторении одних и тех же измерений. К ним относятся: инструментальные погрешности, определяемые классом точности измерительных приборов, зависящие от их установки, градуировки шкалы, люфтов, сил трения, износа, старения или неисправностей средств измерений; погрешности, возникающие вследствие непостоянства свойств внешней среды (температуры, давления, влажности, магнитных и электрических полей, вибрации и колебаний), неоднородности и анизотропии материалов (вследствие дефектов поверхности, наличия трещин, пор, раковин); погрешности метода измерений, зависящие от принятой методики и недостаточно обоснованных теоретических допущений; погрешности субъективного характера, связанные с несовершенством органов чувств, квалификацией и индивидуальными особенностями человека.

Любые округления чисел представляет собой систематическую погрешность. Поэтому округление результатов вычислений рекомендуется производить до числа значащих цифр, превышающих на единицу количество цифр экспериментального результата. При относительной погрешности 1-10 % достаточно трех значащих цифр, а при погрешности 0,1-1 % - четырех. Причины, вызывающие систематические погрешности, в большинстве случаев известны, такие погрешности могут быть уменьшены или исключены за счет применения более чувствительных приборов, введения поправочных коэффициентов, учета влияния внешних и внутренних факторов, улучшения методики измерений.

Случайные погрешности вызываются стохастическими факторами, действие которых при каждом измерении различно и заранее не может быть учтено. Для уменьшения случайных погрешностей увеличивают число измерений, дублируют показания приборов, устанавливают статистические закономерности погрешностей и тенденции их распределения.

Грубые ошибки могут иметь место при невнимательности лиц, ведущих экспериментальные наблюдения и техническую документацию. К ним относятся: неверные записи отсчетов из-за нечеткой шкалы прибора, плохого освещения или путаницы граф полевых журналов, отказа прибора или внезапно изменившихся условий эксперимента. Предварительная обработка результатов измерений и применение вероятностного анализа позволяют определить и исключить допущенные промахи.

Один из методов выявления промахов при ограниченном числе измерений основан на вычислении критерия В. И. Романовского. Для этого по заданной вероятности Р в зависимости от числа измерений n определяют коэффициент t_, (табл.).

Если окажется, что x-x_макс > _пр, (18)

где _пр= St; S - среднее квадратичное отклонение измеряемой величины, то х_макс исключают из ряда наблюдений как промах.

Оценку погрешности результата серии измерений рекомендуется выполнять в такой последовательности:

1. Результаты измерений записываются в таблицу.

2. Определяется среднее арифметическое значение величины х.

3. Находятся погрешности отдельных измерений

Δх; = х, - х (19)

4. Вычисляют квадраты погрешностей отдельных измерений (x_i)²

5. Если результат какого-либо измерения резко отличается от остальных, следует проверить, не является ли он промахом.

6. Определяют среднее квадратичное отклонение измеряемой величины.

7. Для заданной вероятности и числа проведенных измерений определяют коэффициент Стьюдента.

8. Находят погрешность измерений:

x = t_ (S/ n) (20)

и границы доверительного интервала: x = x  x или

x- t_ (S/ n) x  x+t_ (S/ n)

9. Определяют относительную погрешность:

 = (x/ x)*100% (21)

характеризующую точность измерений.

10. Если точность недостаточна, по заданной надежности и найденной погрешности определяют необходимое число опытов, которое должно обеспечить требуемую точность измерений.