Законы Кирхгофа для электрических цепей. Первый закон Кирхгофа.

 Первый закон Кирхгофа показывает связь токов и узлов электрической цепи.

Сумма токов всех ветвей, которые сходятся в один узел электроцепи, равняется нулю.

 Второй закон Кирхгофа.

Второй закон Кирхгофа описывает алгебраическую зависимость между электродинамической силой и напряжением в замкнутой электроцепи.

В любом замкнутом контуре сумма электродинамической силы равна сумме падания напряжения на сопротивлениях, относящихся к данному контуру.

Для написания формул, определяющих второй закон Кирхгофа, берут положительное значение электродинамической силы и падение напряжений, если направление на относящихся к ним отрезках контура совпадает с произвольным направлением обхода контура. А если же направление электродинамической силы и токов противоположны выбранному направлению, то эти электродинамические силы и падение напряжений берут отрицательными:

Алгоритм определения знака величины электродинамической силы и падения напряжений:

1.Выбираем направление обхода контурных цепей. Тут возможны несколько вариантов: либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки.

2. Произвольным образом выбираем направление движения токов протекающих через элементы контурных цепей.

3.Расставляем знаки для электродинамической силы и падения напряжений (не забывая о совпадении или несовпадении направления электродинамической силы с направлением движения обхода контура).

Законы Кирхгофа для цепи постоянного тока

Первый закон Кирхгофа

В любом узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю

,

 

где m – число ветвей подключенных к узлу.

При записи уравнений по первому закону Кирхгофа токи, направленные к узлу, берут со знаком «плюс», а токи, направленные от узла – со знаком «минус».

Например, для узла а (см. рис. выше) I−I₁−I₂=0.

Второй закон Кирхгофа

В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех его участках.

где n – число источников ЭДС в контуре;

m – число элементов с сопротивлением Rk в контуре;

Uk=RkIk – напряжение или падение напряжения на k-м элементе контура.

Для схемы (рис. выше) запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:  E=U_R+U₁.

Если в электрической цепи включены источники напряжений, то второй закон Кирхгофа формулируется в следующем виде: алгебраическая сумма напряжений на всех элементах контру, включая источники ЭДС равна нулю.   

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо:

1) задать условные положительные направления ЭДС, токов и напряжений;

2) выбрать направление обхода контура, для которого записывается уравнение;

3) записать уравнение, пользуясь одной из формулировок второго закона Кирхгофа, причем слагаемые, входящие в уравнение, берут со знаком «плюс», если их условные положительные направления совпадают с обходом контура, и со знаком «минус», если они противоположны.

Запишем уравнения по II закону Кирхгофа для контуров электрической схемы (рис. выше):

контур I: E=RI+R₁I₁+r₀I,

контур II: R₁I₁+R₂I₂=0,

контур III: E=RI+R₂I₂+r₀I.

В действующей цепи электрическая энергия источника питания преобразуется в другие виды энергии. На участке цепи с сопротивлением R в течение времени t при токе I расходуется электрическая энергия

W=I²R_t.                                                                                              (1)

Скорость преобразования электрической энергии в другие виды представляет электрическую мощность P=W/t=I²R=UI.

Из закона сохранения энергии следует, что мощность источников питания в любой момент времени равна сумме мощностей, расходуемой на всех участках цепи.

Это соотношение (1) называют уравнением баланса мощностей. При составлении уравнения баланса мощностей следует учесть, что если действительные направления ЭДС и тока источника совпадают, то источник ЭДС работает в режиме источника питания, и произведение EI подставляют в (1) со знаком плюс. Если не совпадают, то источник ЭДС работает в режиме потребителя электрической энергии, и произведение EI подставляют в (1) со знаком минус. Для цепи, показанной на рис. выше в этой теме уравнение баланса мощностей запишется в виде: EI=I²(r₀+R)+I₁²R₁+I₂²R₂.

При расчете электрических цепей используются определенные единицы измерения. Электрический ток измеряется в амперах (А), напряжение – в вольтах (В), сопротивление – в омах (Ом), мощность – в ваттах (Вт), электрическая энергия – ватт-час (Вт-час) и проводимость – в сименсах (См).

Кроме основных единиц используют более мелкие и более крупные единицы измерения: миллиампер (1 мA = 10^–3 А), килоампер (1 кA = 10³ А), милливольт (1 мВ = 10^–3 В), киловольт (1 кВ = 10³ В), килоом (1 кОм = 10³ Ом), мегаом (1 МОм = 10⁶ Ом), киловатт (1 кВт = 10³ Вт), киловатт-час (1 кВт-час = 10³ ватт-час).

 

Расчет простых цепей при различных схемах соединения потребителей.

Электрическая схема простейшей электрической цепи, обеспечивающей работу осветительной аппаратуры.

Существует последовательное и параллельное соединение потребителей.

Последовательное соединение (в) — это такое соединение, при котором все потребители включены один за другим в одну линию. Поэтому по всем потребителям проходит ток одинаковой силы.

I = U/R = 12 В / З Ом = 4 А

Общее сопротивление внешней цепи равно сумме сопротивлений всех включенных потребителей.

R = R1 + R2 = 1 Ом + 2 Ом = 3 Ом

При параллельном соединении (г) к одной точке цепи подключают по одному выводу каждого потребителя, а к другой точке цепи другие выводы. В нашем примере внешняя цепь имеет два разветвления, т. е. две параллельные ветви. Оба потребителя R₁ и R₂ находятся под одинаковым напряжением U = 12 В.

Сила тока в цепи каждого потребителя зависит от величины его сопротивления:

В цепи первого потребителя I₁ = U/R₁ = 12 В / 1 Ом = 12 А

В цепи второго потребителя I₂ = U/R₂ = 12 В / 2 Ом = 6 А

Общая сила тока во внешней цепи равна сумме сил токов в цепях всех параллельно включенных потребителей:

I = I₁ +I₂ = 12+6 = 18 А

Методы расчета сложных электрических цепей.

К сложным электрическим цепям относят цепи, содержащие несколько источников электрической энергии, включенных в разные ветви.

Для полного расчета сложных электрических цепей обычно используют следующее методы:

1.Применение законов Кирхгофа (универсальный метод, сложные расчеты системы линейных уравнений).

2.Метод контурных токов (универсальный метод)

 3.Метод узловых напряжений (универсальный метод)

4.Принцип наложения (универсальный метод, несложные расчеты).

 5.Метод эквивалентного источника (удобен когда необходимо произвести не полный расчет электрической цепи, а найти ток в одной из ветвей).

6.Метод эквивалентного преобразования схемы (применим довольно редко, простые расчеты).

Метод применение законов Кирхгофа.

Схема разветвленной электрической цепи.

Порядок расчета цепей, связанный с использованием законов Кирхгофа следующий:

1)    Выбирают положительные направления токов в ветвях электрической цепи.

2)    Составляют (k-1) независимых уравнений по первому закону Кирхгофа. Уравнения составленные по первому закону Кирхгофа гораздо проще уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Поэтому их составляют максимально возможное количество.

3)    Выбирают (l-k+1-m) независимых контуров электрической цепи. Контуры необходимо выбирать так, чтобы в них вошли все ветви схемы. Контуры взаимно независимы, если каждый последующий выбираемый контур содержит не менее одной новой ветви.

4)    Для каждого из выбранных независимых контуров выбирают направления обхода и составляют уравнение по второму закону Кирхгофа.

Известны величины сопротивлений и ЭДС, необходимо определить токи. В схеме имеются четыре узла, можно составить четыре уравнения по первому закону Кирхгофа.

Укажем произвольно направления токов. Запишем уравнения: ( 1 ) Сложим эти уравнения. Получим тождество 0 = 0. Система уравнений (1) является зависимой. Если в схеме имеется n узлов, количество независимых уравнений, которые можно составить по первому закону Кирхгофа, равно n - 1.

       ( 2 )

Недостающее количество уравнений составляют по второму закону Кирхгофа. Уравнения по второму закону составляют для независимых контуров. Независимым является контур, в который входит хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в другие контуры. Выберем три независимых контура и укажем направления обхода контуров. Запишем три уравнения по второму закону Кирхгофа. 

       ( 3 )

     Решив совместно системы уравнений ( 2 ) и ( 3 ), определим токи в схеме. Ток в ветви может иметь отрицательное значение. Это означает, что действительное направление тока противоположно выбранному нами.

           

Метод контурных токов.

Расчет сложных электрических цепей методом контурных токов производят в следующей последовательности:

1)    Вычерчиваем принципиальную схему и все ее элементы.

2)    На схеме выбирают и обозначают контурные токи, таким образом, чтобы по любой ветви проходил хотя бы один выбранный контурный ток (исключая ветви с идеальними источниками тока). Контуры можно выбирать произвольно, лишь бы их число было равно (l-k+1-m), и чтобы каждый новый контур содержал хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие.

3)    Произвольно задаемся направлением протекания контурных токов в каждом из независимых контуров (по часовой стрелке или против). Обозначаем эти токи. Для нумерации контурных токов используют сдвоенные цифры.

4)    Произвольно задаемся направлением реальных токов всех ветвей и обозначаем их. Маркировать реальные токи надо таким образом, чтобы не путать с контурными. Для нумерации реальных токов ветвей можно использовать одиночные цифры.

5)    По второму закону Кирхгофа, относительно контурных токов, составляем уравнения для всех независимых контуров.

  Метод непосредственного применения законов Кирхгофа громоздок. Имеется возможность уменьшить количество совместно решаемых уравнений системы. Число уравнений, составленных по методу контурных токов, равно количеству уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа.  Метод контурных токов заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются, на основании второго закона Кирхгофа, так называемые контурные токи, замыкающиеся в контурах.  I11 и I22 - контурные токи.

Рис. 4.2  Токи в сопротивлениях R1 и R2 равны соответствующим контурным токам. Ток в сопротивлении R3, являющийся общим для обоих контуров, равен разности контурных токов I11 и I22, так как эти токи направлены в ветви с R3 встречно.