4.3. Решение систем линейных уравнений матричным методом
,
А=
-
основная матрица; В=
-
матрица столбец свободных членов; Х=
-
матрица столбец неизвестных.
Х= А-1В [1.14]- формула для решения систем линейных уравнений матричным методом.
Пример
1)
,
А=
,
В=
,
Х=
,
А-1=
;
применим формулу: Х= А-1В=
=
,
значит х=2, у=1.
2)
,
А=
,
В=
,
Х=
,
А-1=-
;
применим формулу: Х= А-1В=-
=
,
значит х1=2, х2=0, х3=-1.
4.4. Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Для решения система n
линейных уравнений с n
неизвестными применяются формулы: х1=
,
х2=
,
…, хn=
[1.15]; где х1, х2, …, хn-
неизвестные, Д- определитель основной
матрицы; ДХ1- определитель основной
матрицы в котором первый столбец заменили
столбцом свободных членов, ДХ2-
определитель основной матрицы в котором
второй столбец заменили столбцом
свободных членов, …., ДХn-
определитель основной матрицы в котором
n-ый столбец заменили
столбцом свободных членов.
Частные случаи
1) Пусть Д≠0, ДХ1≠0, ДХ2≠0, …, ДХn≠0- тогда система имеет единственное решение.
2) Пусть Д=0, ДХ1≠0, ДХ2≠0, …, ДХn≠0- тогда система не имеет решений.
3) Пусть Д=0, ДХ1=0, ДХ2=0, …, ДХn=0- тогда система имеет бесконечное множество решений (см. метод Гаусса).
Однородная система линейных уравнений
1) Пусть Д≠0, ДХ1=0, ДХ2=0, …, ДХn=0- тогда система имеет единственное решение (х1=х2=…=хn=0).
2) Пусть Д=0, ДХ1=0, ДХ1=0, …, ДХn=0- тогда система имеет бесконечное множество решений (см. метод Гаусса).
Пример
,
Д=
=79,
ДХ1=
=395,
ДХ2=
=-158,
ДХ3=
=237,
х1=
=5,
х2=
=-2,
х3=
=3.
Контрольная работа №1
Линейная алгебра
1. Даны две матрицы а и в Найти: а) ав; б) ва; в) а-1; г) аа-1; д) а-1а; е) в-1; ж) определитель матрицы а; з) определитель матрицы в.
1) А=
,
В=
2) А=
,
В=
3) А=
,
В=
4) А=
,
В=
5) А=
,
В=
6) А=
,
В=
7) А=
,
В=
8) А=
,
В=
9) А=
,
В=
10) А=
,
В=
11) А=
,
В=
12) А=
,
В=
13) А=
,
В=
14) А=
,
В=
15) А=
,
В=
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
2. Проверить совместность системы и в случае совместности решить ее:
а) по формулам Крамера;
b) матричным методом.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
