2.2. Минор и алгебраическое дополнение

Минором М_ij элемента а_ij называется определитель n-1-го порядка, полученный из определителя n-го порядка, вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Пример

а) А= , М₁₁=1, М₁₂=2, М₂₁=3, М₂₂=5.

б) В= , М₁₁= =15, М₁₂= =3, М₁₃= =-6, М₂₁= =4, М₂₂= =-4, М₂₃= =-4, М₃₁= =-13, М₃₂= =-5, М₃₃= =-14.

Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij называется выражение равное

А_ij=(-1)^i+jМ_ij А₁₁=(-1)¹⁺¹М₁₁ А₁₂=(-1)¹⁺²М₁₂

Пример

А= , А₁₁=(-1)²М₁₁=15, А₁₂=(-1)³М₁₂=-3, А₁₃=(-1)⁴М₁₃=-6, А₂₁=(-1)³М₂₁=-4, А₂₂=(-1)⁴М₂₂=-4, А₂₃=(-1)⁵М₂₃=4, А₃₁=(-1)⁴М₃₁=-13, А₃₂=(-1)⁵М₃₂=5,А₃₃=(-1)⁶М₃₃=-14.

§ 3. Невырожденные матрицы

3.1. Обратная матрица

Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель не равен нулю.

Матрица А^-1, удовлетворяющая условию А А^-1= А^-1А=Е [1.7], называется обратной матрицей к матрице А.

Обратная матрица вычисляется по формуле: А^-1= [1.8], где Д_А- определитель матрицы А,

А^*- присоединённая матрица её элементами являются алгебраические дополнения А^Т.

Алгоритм вычисления обратной матрицы.

1) Вычисляем определитель матрицы Д_А;

2) Транспонируем матрицу А^Т;

3) Вычисляем алгебраические дополнения А^Т;

4) Составляем А^*

5) Применяем формулу А^-1= ;

6) Выполняем проверку АА^-1=А^-1А=Е.

Пример

А=

1) Д_А=-8

2) А^Т=

3) А₁₁=-2, А₁₂=3, А₁₃=-7, А₂₁=2, А₂₂=1, А₂₃=-5, А₃₁=4, А₃₂=-2, А₃₃=-6.

А^*=

5) А^-1=-

6) А^-1А=- = =Е.

§ 4. Системы линейных уравнений

4.1. Виды систем линейных уравнений

Система n линейных уравнений с n неизвестными:

[1.9], где в₁, в₂,…., в_n-свободные члены; х₁, х₂,….х_n-неизвестные; а_ij- коэффициенты при неизвестных.

Виды систем линейных уравнений

1) Система линейных уравнений называется совместной, если имеет хотя бы одно решение; система линейных уравнений называется несовместной, если не имеет решений.

2) Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю; система линейных уравнений называется неоднородной, если хотя бы один из свободных членов не равен нулю.

3) Система линейных уравнений называется определённой, если она имеет единственное решение; система линейных уравнений называется неопределённой, если она имеет более одного решения.

Решить систему линейных уравнений значит найти совокупность чисел х₁=к₁, х₂=к₂, ….., х_n=к_n, или доказать что решений нет.

Две системы называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Пример

1) , х₁=10, х₂=0- совместная, определённая система;

2) , решений нет- несовместная система;

3) , х₁=к, х₂=10-2к- совместная, неопределённая система.

4.2. Матричная запись систем линейных уравнений

А= [1.10]- основная матрица, её элементами являются коэффициенты при неизвестных;

В= [1.11]- матрица столбец свободных членов; Х= [1.12]- матрица столбец неизвестных; С= [1.13]- расширенная матрица.

Пример

, А= - основная матрица;

В= - матрица столбец свободных членов; Х= - матрица столбец неизвестных; С= - расширенная матрица.