Всё что выделено красным, это для самост.изучения

Глава I. Линейная алгебра

§1. Матрицы

1.1. Матрицы. Виды матриц.

Матрицей называется упорядоченная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Число строк и столбцов (m n) называется размером матрицы.

а_ij называется элементом матрицы, где i-номер строки, j-номер столбца матрицы.

Пример

а) А= размер матрицы 2 2, а₁₁=1, а₂₁=3.

б) В= размер матрицы 4 3, а₃₃=13, а₄₁=4, а₁₂=0.

Виды матриц

Матрица называется квадратной, если в ней число строк равно числу столбцов.

Если в матрице число строк не равно числу столбцов, то такая матрица называется прямоугольной.

Пример

А= -квадратная матрица; В= -прямоугольная матрица.

Матрица, элементы которой составляют строку, называется матрица строка.

Матрица, элементы которой составляют столбец, называется матрица столбец.

Пример А= - матрица строка; В= - матрица столбец.

Главная диагональ квадратной матрицы- это диагональ, которая начинается с элемента а₁₁.

Квадратная матрица, у которой на главной диагонали единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей.

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой матрицей.

Пример

Е= - единичная матрица; О= - нулевая матрица.

Матрица, в которой строки и столбцы заменены местами, называется транспонированной матрицей А^т.

Пример

Если А= , тогда А^т= .

1.2. Действия над матрицами

1. Равенство матриц.

Две матрицы называются равными, если они одного размера и равны их соответствующие элементы.

Пусть А= , В= , тогда А=В, если а_ij=в_ij.

2. Сложение матриц.

При сложении матриц (одного размера) складываются их соответствующие элементы.

Пусть А= , В= , А+В=С, С= , где с_ij= а_ij+в_ij. [1.1]

Пример

А= , В= , А+В= .

Свойства сложения матриц.

1. А+В=В+А

2. (А+В)+С=А+(В+С)

3. А+О=О+А=А

3. Умножение матрицы на число.

При умножение матрицы на число, каждый элемент матрицы умножается на это число.

Пусть А= , λ≠0, λ=conct, то λА= [1.2].

Пример

А= , λ=3, λА=

Свойства умножения матриц на число.

1. λ,β≠0, λ,β=conct λ(А+В)= λА+ λВ

2. (λ+ β)А= λА+βА

3. λ(βА)=λβА

4.Умножение матриц.

1) Квадратные матрицы (одного размера)

Пусть А= , В= , АВ=С С= , где с₁₁=а₁₁в₁₁+а₁₂в₂₁; с₁₂=а₁₁в₁₂+а₁₂в₂₂; с₂₁=а₂₁в₁₁+а₂₂в₂₁; с₂₂=а₂₁в₁₂+а₂₂в₂₂ [1.3].

Пример

а) = б) = .

2) Прямоугольные матрицы.

Прямоугольные матрицы можно перемножать тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. В результате получится новая матрица, в которой столько строк, сколько строк в первой и столько столбцов, сколько столбцов во второй.

Пример

а) = , 3 столбца=3 строкам, (2 2)-новая матрица;

б) = , 2 столбца=2 строкам, (3 3)-новая матрица;

в) , 3 столбца≠1 строке- перемножать матрицы нельзя.

Свойства умножения матриц.

1. АВ≠ВА

2. (АВ)С=А(ВС)

3. АЕ=ЕА=А

§ 2. Определители

2.1. Определители 2-го и 3-го порядка

Для квадратных матриц существует числовая характеристика, называемая определителем (обозначение: Д или det).

Вычисление определителей второго порядка (2 2)

=а₁₁а₂₂-а₂₁а₁₂ [1.4];

Пример

=1∙4-3∙2=-2.

Вычисление определителей третьего порядка (3 3)

Перемножим элементы, расположенные на главной диагонали и прибавим к ним произведение элементов, расположенных в вершинах треугольников. Затем вычтем произведение элементов, расположенных на побочной диагонали и произведение элементов в вершинах треугольников.

=а₁₁а₂₂а₃₃+а₂₁а₃₂а₁₃+а₁₂а₂₃а₃₁-а₃₁а₂₂а₁₃-а₃₂а₂₃а₁₁-а₂₁а₁₂а₃₃ [1.5].

Пример

=-1∙8∙2+2∙1∙2+3∙1∙1-1∙8∙2-1∙1∙(-1)-2∙3∙2=-16+4+3-16+1-12=-36

Свойства определителей

1) Значение определителя не изменится при замене всех строк соответствующими столбцами и наоборот: =а₁₁а₂₂-а₂₁а₁₂; = а₁₁а₂₂-а₂₁а_12.

Пример

2) Если поменять местами две строки или два столбца определителя, то он изменит знак на противоположный: =а₁₁а₂₂-а₂₁а₁₂;

= а₂₁а₁₂- а₁₁а₂₂=- а₁₁а₂₂-а₂₁а₁₂.

Пример

3) Определитель с двумя равными строками или столбцами равен нулю.

=а₁₁а₁₂- а₁₁а₁₂=0.

4) Если умножить элементы, какой- либо строки или столбца на λ≠0, λ=conct, то определитель увеличится в λ раз: = λа₁₁а₂₂- λа₂₁а₁₂= λ(а₁₁а₂₂-а₂₁а₁₂).

Пример

5) Если все элементы строки или столбца определителя равны нулю, то весь определитель равен нулю: = а₁₁0- а₂₁0=0.

6) Определитель не изменится, если прибавить к элементам некоторой строки (столбца) элементы другой строки (столбца) умноженные на λ≠0, λ=conct:

=а₁₁а₂₂-а₂₁а₁₂,

=а₂₂(а₁₁+ λа₂₁)-а₂₁(а₁₂+ λа₂₂)= а₂₂а₁₁+ а₂₂ λа₂₁- а₂₁ а₁₂-

-а₂₁ λа₂₂= а₁₁а₂₂-а₂₁а₁₂.

Пример

(к 2 строке + 1 строку)

(к 1 столбцу + 2 столбец)