§ 4. Системы линейных уравнений

4.1. Виды систем линейных уравнений

Система n линейных уравнений с n неизвестными:

[1.9], где в₁, в₂,…., в_n-свободные члены; х₁, х₂,….х_n-неизвестные; а_ij- коэффициенты при неизвестных.

Виды систем линейных уравнений

1) Система линейных уравнений называется совместной, если имеет хотя бы одно решение; система линейных уравнений называется несовместной, если не имеет решений.

2) Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю; система линейных уравнений называется неоднородной, если хотя бы один из свободных членов не равен нулю.

3) Система линейных уравнений называется определённой, если она имеет единственное решение; система линейных уравнений называется неопределённой, если она имеет более одного решения.

Решить систему линейных уравнений значит найти совокупность чисел х₁=к₁, х₂=к₂, ….., х_n=к_n, или доказать что решений нет.

Две системы называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Пример

1) , х₁=10, х₂=0- совместная, определённая система;

2) , решений нет- несовместная система;

3) , х₁=к, х₂=10-2к- совместная, неопределённая система.

4.2. Матричная запись систем линейных уравнений

А= [1.10]- основная матрица, её элементами являются коэффициенты при неизвестных;

В= [1.11]- матрица столбец свободных членов; Х= [1.12]- матрица столбец неизвестных; С= [1.13]- расширенная матрица.

Пример

, А= - основная матрица;

В= - матрица столбец свободных членов; Х= - матрица столбец неизвестных; С= - расширенная матрица.

4.3. Решение систем линейных уравнений матричным методом

, А= - основная матрица; В= - матрица столбец свободных членов; Х= - матрица столбец неизвестных.

Х= А^-1В [1.14]- формула для решения систем линейных уравнений матричным методом.

Пример

1) , А= , В= , Х= , А^-1= ;

применим формулу: Х= А^-1В= = , значит х=2, у=1.

2) , А= , В= , Х= , А^-1=- ;

применим формулу: Х= А^-1В=- = , значит х₁=2, х₂=0, х₃=-1.

4.4. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Для решения система n линейных уравнений с n неизвестными применяются формулы: х₁= , х₂= , …, х_n= [1.15]; где х₁, х₂, …, х_n- неизвестные, Д- определитель основной матрицы; Д_Х1- определитель основной матрицы в котором первый столбец заменили столбцом свободных членов, Д_Х2- определитель основной матрицы в котором второй столбец заменили столбцом свободных членов, …., Д_Хn- определитель основной матрицы в котором n-ый столбец заменили столбцом свободных членов.

Частные случаи

1) Пусть Д≠0, Д_Х1≠0, Д_Х2≠0, …, Д_Хn≠0- тогда система имеет единственное решение.

2) Пусть Д=0, Д_Х1≠0, Д_Х2≠0, …, Д_Хn≠0- тогда система не имеет решений.

3) Пусть Д=0, Д_Х1=0, Д_Х2=0, …, Д_Хn=0- тогда система имеет бесконечное множество решений (см. метод Гаусса).

Однородная система линейных уравнений

1) Пусть Д≠0, Д_Х1=0, Д_Х2=0, …, Д_Хn=0- тогда система имеет единственное решение (х₁=х₂=…=х_n=0).

2) Пусть Д=0, Д_Х1=0, Д_Х1=0, …, Д_Хn=0- тогда система имеет бесконечное множество решений (см. метод Гаусса).

Пример

, Д= =79, Д_Х1= =395, Д_Х2= =-158, Д_Х3= =237, х₁= =5, х₂= =-2, х₃= =3.

4.5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Расширенную матрицу (в данном случае система из 3 уравнений с тремя неизвестными) при помощи элементарных преобразований строк приводим к виду: [1.16],

тогда х₁= , х₂= , х₁= [1.17].

Пример

;

составим расширенную матрицу; при помощи элементарных преобразований строк получим нули во втором столбике, для этого: 2стр.+1стр. 4, 3стр.+1стр 2;

затем получим нули в третьем столбике, для этого: 1стр.+3стр. 3, 2стр.+3стр. 17;

преобразованную матрицу запишем при помощи системы; из системы выражаем х₁, х₂, х₃.

~ ~ = , х₁=5, х₂=-2, х₃=3.

Теорема Кронекера- Капелли

Пусть А- основная матрица, В- расширенная матрица, тогда, если rangА= rangВ, то система имеет решения:

1) если rangА= rangВ=n, (где n-число неизвестных), то система имеет единственное решение,

2) если rangА= rangВ<n, (где n-число неизвестных), то система имеет бесконечное множество решений;

если rangА≠ rangВ, то система не имеет решений.

Пример

Проверить системы на совместность и решить их методом Гаусса

1) ,

составим расширенную матрицу; при помощи элементарных преобразований строк получим нули во втором столбике, для этого: 2стр.+1стр. 2, 3стр.+1стр;

затем получим нули в третьем столбике, для этого: 2стр.+3стр; rangА= rangВ=n- система имеет единственное решение; преобразованную матрицу запишем при помощи системы; из системы выражаем х₁, х₂, х₃. ~ ~ = , х₁=-1, х₂=-1, х₃=-1.

2) ,

составим расширенную матрицу; при помощи элементарных преобразований строк получим нули в третьем столбике, для этого: 2стр.+1стр. 3, 3стр.+1стр 2;

затем 3стр.-2стр; rangА=2, rangВ=3, rangА≠rangВ - система не имеет решений.

~ ~ .

3) ,

составим расширенную матрицу; при помощи элементарных преобразований строк получим нули в третьем столбике, для этого: 2стр.+1стр. 5, 3стр.+1стр 4;

затем 2стр.-3стр; rangА=rangВ=2<n (n=3) - система имеет бесконечное множество решений; преобразованную матрицу запишем при помощи системы; из системы выражаем х₁, х₂, х₃.

~ ~ = , х₁= , х₂, х₃= .