2.2. Минор и алгебраическое дополнение

Минором М_ij элемента а_ij называется определитель n-1-го порядка, полученный из определителя n-го порядка, вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Пример

а) А= , М₁₁=1, М₁₂=2, М₂₁=3, М₂₂=5.

б) В= , М₁₁= =15, М₁₂= =3, М₁₃= =-6, М₂₁= =4, М₂₂= =-4, М₂₃= =-4, М₃₁= =-13, М₃₂= =-5, М₃₃= =-14.

Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij называется выражение равное

А_ij=(-1)^i+jМ_ij [1.6]

Пример

А= , А₁₁=(-1)²М₁₁=15, А₁₂=(-1)³М₁₂=-3, А₁₃=(-1)⁴М₁₃=-6, А₂₁=(-1)³М₂₁=-4, А₂₂=(-1)⁴М₂₂=-4, А₂₃=(-1)⁵М₂₃=4, А₃₁=(-1)⁴М₃₁=-13, А₃₂=(-1)⁵М₃₂=5,А₃₃=(-1)⁶М₃₃=-14.

2.3. Определители n-го порядка

1.Теорема

Определитель равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на соответствующие алгебраические дополнения.

Пример

Вычислим определитель, разложив его по элементам второй строки:

=-5А₂₁+3А₂₂-34А₂₃-23А₂₄=-5(-1)³ + +3(-1)⁴ -34(-1)⁵ -23(-1)⁶ =91

2.Метод понижения порядка- используя свойства определителя понижаем порядок и вычисляем определитель при помощи алгебраического дополнения.

Пример

При помощи свойства № 6 получим нули во втором столбце; для этого: 2стр.+1стр. 3, 3стр.+1стр., 4стр.+1стр. 2;

~ =

вычислим получившийся определитель, разложив его по элементам второго столбца; в новом определителе третьего порядка получим нули в третьем столбце; для этого: 2стр.-1стр., 3стр.-1стр.;

=-1А₂₁=-1(-1)³ ~ =

вычислим получившийся определитель, разложив его по элементам третьего столбца.

=1А₁₃=1(-1)⁴ =91

3. Метод приведения определителя к треугольному виду.

Определитель, у которого все элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю, называется определителем треугольного вида. Такой определитель равен произведению элементов его главной диагонали.

=а₁₁а₂₂а₃₃а₄₄.

§ 3. Невырожденные матрицы

3.1. Обратная матрица

Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель не равен нулю.

Матрица А^-1, удовлетворяющая условию А А^-1= А^-1А=Е [1.7], называется обратной матрицей к матрице А.

Обратная матрица вычисляется по формуле: А^-1= [1.8], где Д_А- определитель матрицы А, А^*- присоединённая матрица её элементами являются алгебраические дополнения А^Т.

Алгоритм вычисления обратной матрицы.

1) Вычисляем определитель матрицы Д_А;

2) Транспонируем матрицу А^Т;

3) Вычисляем алгебраические дополнения А^Т;

4) Составляем А^*

5) Применяем формулу А^-1= ;

6) Выполняем проверку АА^-1=А^-1А=Е.

Пример

А=

1) Д_А=-8

2) А^Т=

3) А₁₁=-2, А₁₂=3, А₁₃=-7, А₂₁=2, А₂₂=1, А₂₃=-5, А₃₁=4, А₃₂=-2, А₃₃=-6.

4) А^*=

5) А^-1=-

6) А^-1А=- = =Е.

3.2. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц.

Ранг матрицы (rang)- наибольший порядок порождённых ею определителей отличных от нуля.

1) для квадратных матриц rang≤(n, n)

2) для прямоугольных матриц rang≤ min(m, n), где m- число строк, n-число столбцов.

Элементарные преобразования матриц:

1) Отбрасывание нулевой строки (столбца);

2) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на λ≠0, λ=conct;

3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы;

4) Прибавление к каждому элементу строки (столбца) соответственных элементов другой стоки (столбца), умноженных на λ≠0, λ=conct.

5) Транспонирование матрицы.

Теорема

Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матриц.

Методы вычисления ранга матриц.

Метод нулей и единиц: путём элементарных преобразований приводим матрицу к виду, когда все её элементы будут нули и единицы; тогда ранг матрицы- это число ненулевых строк.

Пример

А= ~ ~ ~

1стр.+2стр.; 1стр.-3стр., 3стр.-2стр. 2; 2стр.+3стр. 3; получили две ненулевых строки, значит rang=2.

Метод окаймляющих миноров: пусть мы нашли минор к-го порядка, который не равен нулю. Рассмотрим все миноры к+1-го порядка, включающие в себя данный минор, (они окаймляющие). Если все окаймляющие миноры равны нулю, то . Рассмотрим все миноры к+1-го порядка, включающие в себя данный.

Пример

А= , выберем минор к-го порядка (к=2), ≠0. Рассмотрим все миноры к+1-го (к+1=3) порядка, включающие в себя данный минор: =0, значит rang=2.