Проэктирование.Вопросы+книга / 43

Уравнение (5.11) может быть получено непосредственно по структурной схеме прибора (рис. 5.3), для этого необходимо определить передаточные коэффициенты звеньев (1-4):

K1 = ∂F/∂a = m; K2 = l; K3 = ∂ϕ/∂M = 1/Cпр; K4 = ∂U/∂ϕ = Uo/ϕo.

Учитывая, что Uвых = Ka, где K = K1K2K3K4, получим статическую характеристику акселерометра в виде (5.11).

Параллельное соединение (рис. 4.1, б). Если характеристики n параллельных звеньев имеют вид

то статическая характеристика системы получается подстановкой уравнений (5.12) в уравнение связи (5.13):

Для определения чувствительности дифференцируем уравнение (5.14) по входной величине Х:

S = ∂У1/∂X + ∂У2/∂Х + ... + ∂Уn/∂Х.

Имея в виду, что

∂У1/∂X = S1, ∂У2/∂Х = S2, ..., ∂Уn/∂Х = Sn,

получим

При графическом расчете характеристики всех параллельных звеньев строят в прямоугольной системе координат (в I-й четверти). Суммируя ординаты всех кривых при фиксированном значении Х, находят координаты точек результирующей характеристики.

Встречно-параллельное соединение (рис. 4.1, в). Если характеристики двух встречно-параллельных звеньев имеют вид

то, решая их совместно с уравнением связи Х1 = X ± Х2,

41

В полученном уравнении знак «плюс» отвечает положительной обратной связи, знак «минус» – отрицательной.

Чувствительность системы при встречно-параллельном соединении звеньев определяется как

Здесь знак «плюс» отвечает отрицательной обратной связи, знак «минус» – положительной.

При графическом расчете характеристики обоих звеньев строят в прямоугольной системе координат (в I-й четверти). Суммируя абсциссы этих кривых при фиксированном значении У, находят координаты точек результирующей характеристики.

Методы расчета динамических характеристик

При расчете динамических характеристик приборов могут решаться задачи анализа и синтеза.

Анализ динамических характеристик ведется с целью определения характера изменения выходного сигнала прибора во времени У(t) при известном законе изменения входного сигнала Х(t) и при заданных параметрах прибора.

Задача синтеза заключается в выборе таких параметров прибора, при которых зависимость У(t) наилучшим образом приближается к желаемой.

Зависимость У(t) называют реакцией прибора на воздействие Х(t). Если бы прибор был идеальным в динамическом отношении (безынерционным), то его выходной сигнал реагировал бы без запаздывания на изменение входного сигнала и воспроизводился бы в соответствии со статической характеристикой У = f(Х), т. е.

В реальных приборах (вследствие наличия инерционных масс, демпфирования, тепловой инерции, емкостей и индуктивностей в электрических цепях и т. п.) условие (5.19) не выполняется и возникает динамическая погрешность

а другое отображает физическую схему прибора и дает связь между У, Х и их производными:

Совместное решение и интегрирование уравнений (5.21) и (5.22) позволяет определить реакцию прибора У(t) на воздействие Х(t) при заданных начальных условиях, учитывающих состояние координаты У и ее производных в момент времени t = 0.

42

Число начальных условий равно порядку левой части уравнения (5.22). Таким образом, реакция прибора У(t) зависит как от внешнего воздействия Х(t), так и от собственных свойств прибора, определяемых уравнением (5.22).

Следовательно, один и тот же прибор обладает различной реакцией У(t) на разные воздействия Х(t). Закон изменения Х(t) в условиях реальной эксплуатации прибора может быть самым различным и содержать как детерминированную, так и случайную составляющие.

В целях унификации оценок и возможности сравнения динамических свойств различных приборов при расчетах и экспериментах принято оценивать динамические характеристики приборов при типовых воздействиях – ступенчатом, импульсном, синусоидальном.

Реакцию прибора на ступенчатое воздействие называют переходной функцией, а на импульсное – импульсной переходной функцией. При определении реакции на синусоидальное воздействие обычно рассматривают только вынужденную составляющую колебаний выходного сигнала, которую представляют в виде частотных характеристик.

Чаще всего пользуются амплитудно- и фазочастотными характеристиками, показывающими зависимость амплитуды и сдвига фаз выходного сигнала от частоты при постоянной амплитуде входного сигнала.

Дифференциальные уравнения (5.22) многих приборов являются линейными или линеаризуемыми и приводятся к виду

Совместное решение и интегрирование уравнений (5.21) и (5.23) позволяет определить У(t). Другой способ нахождения У(t) для приборов, описываемых линейным дифференциальным уравнением (5.23), основан на применении преобразования Лапласа. При этом определяется передаточная функция прибора, равная отношению лапласовских изображений У(p) и Х(p) при нулевых начальных условиях:

Определяется лапласовское изображение выходного сигнала в виде У(p) = W(p)Х(p),

здесь Х(p) – изображение функции Х(t). Затем находят искомую реакцию

У(t) = L-1{У(p)} = L-1{W(p)Х(p)},

здесь L-1 – обратное изображение функции.

В качестве примера рассмотрим движение подвижной части магнитоэлектрического измерительного механизма (гальванометра), схема которого приведена на рис. 5.4, где приняты следующие обозначения: 1 – рамка, с ней связан указатель (стрелка); 2 – постоянный магнит с полюсными наконечниками; 3 – сердечник; 4 – ось (керн); 5 – подпятник; 6 – противодействующие (токоподводящие) пружины.

43

Введем безразмерный параметр, называемый степенью успокоения подвижной части прибора β:

Корни уравнения (5.28) определим из выражения

Вид переходного процесса зависит от характера корней p1,2. Здесь могут быть три случая.

Случай 1. Степень успокоения β>1, что приводит к неравным действительным корням. Переходный процесс в системе 2-го порядка при β>1 и при нулевых начальных условиях имеет апериодический характер (рис. 5.5).

Случай 2. Степень успокоения β=1, чему отвечают равные корни. Переходный процесс является апериодическим.

Случай 3. Корни неравные и комплексные. Этот случай, отвечающий β<1, представляет наибольший интерес, так как в этой области существует некоторое оптимальное значение β, при котором длительность переходного процесса получается минимальной.

Переходные процессы при β<1 имеют колебательный характер. В частном случае, когда отсутствует демпфирование (β= 0), система совершает незатухающие колебания (при отсутствии сил трения) по закону

Параметр ωo представляет собой частоту собственных колебаний недемпфированной системы. В случае 0 <β<1 система совершает затухающие колебания (рис. 5.5). Частота демпфированных колебаний

Следовательно, с увеличением β от 0 до 1 частота демпфированных колебаний уменьшается от ωo до 0.

Помимо ωo и β, важными показателями колебательного переходного процесса являются декремент затухания и перерегулирование. Декрементом затухания d называют отношение абсолютных значений двух смежных максимальных отклонений выходного сигнала от установившегося значения. Перерегулирование σ определяет относительную величину разности между первым максимумом переходного процесса и его установившимся значением.

На рис. 5.5 представлены графики переходных процессов в системе второго порядка при разных значениях степени успокоения β: β<1 – колебательный режим, β>1 – апериодический режим, β=1 – критический режим. Изменяя сопротивление цепи прибора (см. уравнение 5.29), можно получить различные режимы его работы.

Опыт показывает, что при степени успокоения β= 0.9 подвижная часть быстрее всего устанавливается в положение равновесия. Если цепь гальванометра разомкнута, то колебания рамки будут незатухающими (свободными). Период собственных колебаний определяется по формуле (5.34).

45

Допустим, что β2 > β1, тогда период колебаний увеличится, и переходный процесс будет описываться кривой 2, расположенной правее кривой 1 и входящей в зону ± ∆ в точке B, для которой t2 > t1.

Рис. 5.6. К расчету оптимальной степени успокоения по критерию минимума длительности переходного процесса

Если же β3 < β1 (кривая 3), то период колебаний уменьшится, но увеличится величина перехода через установившееся значение, из-за чего максимальное отклонение кривой 3 выйдет за пределы верхней границы допуска +∆. Длительность процесса t3 будет определяться вторым пересечением кривой 3 с верхней границей зоны допусков в точке C, следовательно, t3 > t1.

Более подробно вопросы синтеза систем и анализа их динамической точности рассмотрены в работе [5].

Глава 6. Расчет погрешностей приборов и систем

Определение погрешностей измерительного звена по его расчетной характеристике

Оценка погрешностей прибора значительно упрощается, если их расчет разделить на два этапа. На первом этапе определяются погрешности каждого звена в отдельности по его расчетной характеристике. На втором этапе определяются погрешности прибора в целом, с учетом его структурной схемы.

Такая последовательность расчетов не только упрощает вычисления, но и повышает наглядность полученных результатов, так как выявляется роль каждого звена в формировании общей погрешности прибора.

Кроме того, для выполнения расчета на втором этапе не обязательно иметь расчетные данные о погрешностях каждого звена. Могут быть использованы экспериментальные данные или взяты значения погрешностей отдельных звеньев из технических условий (если используются типовые чувствительные или преобразующие элементы).

Вернемся к расчетной (5.2) характеристике прибора:

У = f(X, q1, q2, ..., qn),

где q1, q2, ..., qn – параметры схемы и конструкции.

47

Первичные ошибки ∆q1, ∆q2, ..., ∆qn практически малы по сравнению с параметрами q1, q2, ..., qn. Зависимость между приращением выходного сигнала ∆У и первичными ошибками, по аналогии с рассмотренными ранее уравнениями (1.4-1.5), можно представить в виде

Таким образом, абсолютная погрешность есть взвешенная сумма первичных погрешностей. Коэффициентами веса являются частные производные по параметрам, которые вызывают появление погрешностей. Частные производные вычисляются для расчетных (номинальных) значений q1, q2, ..., qn.

Уравнение (6.1) применимо как к прибору в целом, так и к отдельным его элементам. Параметры q1, q2, ..., qn могут отличаться от номинальных значений как по производственно-технологическим причинам (∆qi =∆q'i – основная погрешность), так и из-за отклонения условий эксплуатации (температуры, давления и др.) от нормальных (∆qi =∆q''i – дополнительная погрешность).

В качестве примера рассмотрим расчет погрешности маятникового акселерометра (рис. 5.1). Статическую характеристику прибора (5.11) можно представить следующим образом

На основании уравнения (6.1) получим

∆Uвых = 12lLUob-1h-3E-1ϕo-1a∆m + 12mLUob-1h-3E-1ϕo-1a∆l + + 12mlUob-1h-3E-1ϕo-1a∆L + 12mlLb-1h-3E-1ϕo-1a∆Uo –

–12mlLUob-2h-3E-1ϕo-1a∆b - 3 12mlLUob-1h-4E-1ϕo-1a∆h –

–12mlLUob-1h-3E-2ϕo-1a∆E - 12mlLUob-1h-3E-1ϕo-2a∆ϕo. (6.3)

Выражение для относительной погрешности получим путем деления уравнения (6.3) на уравнение (6.2):

Отсюда следует, что относительная погрешность маятникового акселерометра есть взвешенная сумма первичных относительных погрешностей. Коэффициентами веса являются показатели степени параметров.

Выражение (6.1) можно использовать для расчета температурных погрешностей, если считать, что приращения ∆qi параметров qi произошли в результа-

здесь αi – температурный коэффициент параметра; qio – значение параметра при нормальной температуре.

48

Подставляя зависимость (6.6) в выражение (6.1), найдем температурную погрешность прибора:

Определение погрешностей прибора по структурной схеме

Для расчета погрешности прибора по структурной схеме необходимо знать погрешности всех его преобразующих звеньев, которые могут быть определены различными способами: а) расчетным путем по методике, описанной в предыдущем параграфе; б) по результатам экспериментальных исследований образцов; в) по справочным данным, если используются стандартные звенья.

Допустим, что прибор (или измерительная система) содержит n звеньев, каждое из которых осуществляет определенное функциональное преобразование физических величин. Звенья соединены между собой любым способом (последовательно, параллельно, встречно-параллельно или более сложным образом). Обозначим выходной и входной сигналы системы в целом через У и Х, а выходные сигналы звеньев через У1, У2, ..., Уn.

В реальной системе сигналы звеньев У1, У2, ..., Уn, вследствие наличия у них погрешностей, получают независимые приращения ∆У1, ∆У2, ..., ∆Уn, которые в совокупности и дают суммарную погрешность системы ∆У.

Относительная погрешность системы в линейном приближении равна линейной комбинации относительных погрешностей звеньев:

здесь δ = ∆У/У – относительная погрешность системы; δi = ∆Уi/Уi – относительная погрешность i-го звена; ξi – коэффициент влияния i-го звена.

Из уравнения (6.9) следует, что погрешность системы складывается из n составляющих, каждая из которых порождается соответствующим звеном структурной схемы. Коэффициент влияния ξi представляет собой безразмерный множитель, на который нужно умножить относительную погрешность i-го звена, чтобы определить порождаемую ею составляющую суммарной относительной погрешности системы.

Предположим, что все звенья, кроме i-го, абсолютно точны, а погрешность системы вызвана лишь влиянием i-го звена. Тогда относительная погрешность системы

∆У/У = ξi∆Уi/Уi,

49

При установившемся режиме, когда Xi = const, малое приращение функции (6.11) можно выразить в виде

Так как рассматривается лишь одна составляющая суммарной погрешности, вызванная влиянием i-го звена, а параметры остальных звеньев принимаются постоянными, то отношение малых приращений чувствительности можно заменить частной производной:

Подставляя (6.16) в (6.15), получим формулу для определения коэффициента влияния i-го звена:

Если произвести расчет чувствительности прибора по структурной схеме, то можно представить ее как функцию чувствительности звеньев:

Частные производные ∂S/∂Si (i = 1, 2, ..., n) могут быть найдены поочередным дифференцированием функции (6.18) по S1, S2, ..., Sn.

Рассмотрим расчет коэффициентов влияния погрешностей звеньев на примере, представленном в работе [3]. Определим безразмерные коэффициенты влияния погрешностей звеньев для структурной схемы, приведенной на рис. 6.1, а, если заданы чувствительности звеньев: S1 = 20; S2 = 9; S3 = 1; S4 = 2.

Заменим встречно-параллельные звенья 2 и 3 с отрицательной обратной связью эквивалентным звеном 5 (рис. 6.1, б), чувствительность которого со-

гласно (5.18) равна S5 = S2/(1 + S2S3).

Рис. 6.1. К примеру расчета коэффициентов влияния

50