Занятие 7 элементы регрессионного анализа

Цель работы: изучить основные приёмы проведения регрессионного анализа с помощью функций MS Excel, с использованием инструмента Пакета анализа: «Регрессия».

Регрессионный анализ – статистический метод исследования зависимости случайной величины Y от переменных (j=1, 2,…,k). Зная уравнение регрессии, можно при любых значениях Х, подставляя их в уравнение, приближённо оценить значение Y. Объясняющие переменные рассматриваются как неслучайные величины независимо от истинного закона распределения , а случайная величина Y имеет нормальный закон распределения с условным математическим ожиданием, являющимся функцией от :

с постоянной, независящей от аргументов, дисперсией .

Построение уравнения линейной регрессии

Пример 1. Построить уравнение линейной регрессии для следующих данных:

x	2	3	4	5	6
y	1,9	1,7	1,8	1,5	1,3

Проверить значимость коэффициентов регрессии и уравнения регрессии. Построить доверительный интервал для генерального коэффициента β_yx . Принять α=0,05.

Решение.

Введём исходные данные в ячейки A2:A6 (значения x) и в ячейки B2:B6 (значения y).

Для вычисления коэффициентов линейной регрессии в MS Excel используется функция ЛИНЕЙН(известные_значения_ y, известные_значения_ х, конст, статистика).

Аргументы функции: известные_значения_ y: множество значений результативного признака Y; известные_значения_ x: множество значений факторных признаков X_i; конст: логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы свободный член b₀ был равен 0; если конст имеет значение ИСТИНА, или опущена, то коэффициент b₀ вычисляется обычным образом; статистика ‒ логическое значение, которое указывает, требуется ли вернуть дополнительную статистику по регрессии; если статистика имеет значение ИСТИНА, то функция ЛИНЕЙН рассчитывает дополнительную статистику.

Выделим диапазон A9:B9 и введём в него функцию: =ЛИНЕЙН(B2:B6;A2:A6;1;0). Нажмём комбинацию клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter> и в ячейках A9 и B9 получим результат: -0,14 (b₁) и 2,2 (b₂) (рис.1).

Рис. 1.

Выделим диапазон B11:С15 и введём в него формулу: =ЛИНЕЙН(B2:B6;A2:A6;1;1). Нажмём комбинацию клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter> и в ячейках B11:С15 получим следующие результаты: в ячейке В11 ‒ коэффициент b₁, в ячейке С11 ‒ коэффициент b₀. В ячейках В12, С12 ‒ стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии . находится как корень квадратный из дисперсии соответствующего коэффициента регрессии:

; ;

; .

Для построенной модели вычисляется коэффициент детерминации:

‒ регрессионные остатки.

В ячейке С13 вычисляется стандартная ошибка регрессионных остатков по формуле:

В таблице также выводится сумма квадратов регрессии (ячейка В15) и сумма квадратов остатков (ячейка С15), которые вычисляются по формулам:

Рассчитаем дисперсию регрессии по формуле:

,

где: k ‒ число факторов.

В таблице приводится наблюдаемое значение критерия Фишера (ячейка В14), которое находится по формуле:

,

а также число степеней свободы остаточной дисперсии (ячейка С14).

Проверим значимость коэффициентов регрессии и самого уравнения.

Для проверки значимости отдельных коэффициентов регрессии (выдвигаются гипотезы Н₀: b_j=0) используется t-критерий Стъюдента, наблюдаемое значение которого находят по формуле:

.

Критическое значение t_кр. находится с использованием функции СТЪЮДЕНТРАСПОБР для уровня значимости α и числа степеней свободы n-2. Гипотеза Н₀ отвергается с вероятностью ошибки α, если . Из этого следует, что соответствующий коэффициент регрессии значим. В противном случае коэффициент регрессии незначим, и соответствующая переменная в модель не включается.

Рассчитаем наблюдаемое значение критерия:

; .

Критическое значение найдём с помощью функции: СТЪЮДЕНТРАСПОБР(0,05;3). Результат: t_кр.=3,182. Так как и для первого, и для второго коэффициента выполняется условие , то оба коэффициента регрессии значимы.

Проверка значимости уравнения регрессии проводится с использованием критерия Фишера. Наблюдаемое значение критерия . По уровню значимости α для числа степеней свободы df1=k и df2=n-k-1 находим критическое значение F_кр. с использованием функции: FРАСПОБР(0,05;1;3). Результат: F_кр.=10,13. Так как F_набл.>F_кр., то нулевая гипотеза Н₀ о незначимости отклоняется и уравнение признаётся значимым.

Найдём уравнение линейной регрессии с использованием инструмента Пакета анализа «Регрессия».

Вызовем инструмент «Регрессия» и в диалоговом окне введём следующие данные: Входной интервал Y: $B$2:$B$6; Входной интервал Х: $А$2:$А$6; Выходной интервал: $А$19; отметим галочками все пункты в разделе Остатки. Нажмём кнопку Ок. Результат состоит из четырёх таблиц и 2-х графиков.

Доверительный интервал приведён в ячейках F36:G36.

Пример 2. Построить уравнение регрессии по следующим данным:

X	5,1	7,5	5,6	5,6	5,4	6,7	6,9	7,7	6,6	6,5	6,3	7,2
Y	0,9	15,9	11,5	0,0	0,8	7,2	7,2	15,7	0,6	13,5	13,2	15,1

Проверить значимость коэффициентов регрессии и уравнения регрессии. Построить доверительный интервал для генерального коэффициента β_yx . Найти доверительные границы для уравнения регрессии и построить соответствующие графики. Принять α=0,05. Указание: при решении задачи использовать функции MS Excel.

Решение.

Записать исходные данные в диапазон А2:В13 (рис.3). В ячейках А1:С1 и D2:D13 ввести для наглядности обозначения.

В ячейку Е2 ввести формулу:

=(СУММ(А2:А13)*СУММ(В2:В13)-12*СУММПРОИЗВ(А2:А13;В2:В13)/

(СУММ(А2:А13)^2-12*СУММКВ(А2:А13).

В ячейку Е3 ввести формулу:

=СРЗНАЧ(В2:В13)-Е2*СРЗНАЧ(А2:А13).

В ячейках Е2, Е3 получатся коэффициенты уравнения регрессии и . Уравнение регрессии имеет вид:

.

В ячейки Е4:Е16 ввести формулы, как показано в таблице.

	D	E
4	xср. =	=СРЗНАЧ(А2:А13)
5	yср. =	= СРЗНАЧ(В2:В13)
6	s2 ост.=	=СУММКВРАЗН(С2:С13;В2:В13)/10
7	sb1 =	=КОРЕНЬ(Е6/СУММ((А2:А13-Е4)^2))
8	sb0 =	=КОРЕНЬ(Е6*СУММКВ(А2:А13)/(12*CУММКВ(А2: А13)-CУММ(А2:А13)^2))
9	tb1 =	=ABS(E2)/E7
10	tb0 =	= ABS(E3)/E8
11	tкрит.	=СТЪЮДРАСПРОБР(0,05;10)
12	F =	=10*СУММ((С2:С13-Е5)^2)/СУММ((C2:C13-B2:D13)^2)
13	Fкрит. =	=FРАСПОБР(0,05;1;10)
14	Дов. инт. для betayx
15	нижн. гран.	=E2-E11*E7
16	верх. гран.	=E2+E11*E7

Указание. После ввода формул в ячейки Е7 и Е12 следует нажать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter, так как используются формулы массива.

Результаты вычислений представлены в таблице.