2. Теоремалардың өзара байланысы

Теореманың ішінде шарты және қорытындысы болады. Шартынан не берілгенін, ал қорытындысынан не дәлелдеу керек екенін білуге болады. Теорема «егер» деген сөзбен басталса, «онда» деген сөзге дейінгі – оның шарты, ал онда деген сөзден аяғына дейінгі – қорытындысы. Бірақ кейбір теоремалардың шарты мен қорытындысын оқушылар айыра алмайды. Мұндай жағдайда оқушыларға мұғалім көмектесіп үйретуі керек. Мысалы: «Сыбайлас бұрыштардың қосындысын табыңдар». Оқушылар транспортирмен бұрыштарды өлшеп, қосындысы 1800 болатынын табады да, «Сыбайлас бұрыштардың қосындысы 1800 болады» деген теореманы өздері айтады.

Бұл көрнекі - белсенділік әдістің бір жақсысы оқушылар өздігінен белсенді жұмыс істейді, есептер шығаруды үйренеді. Сөйтіп, оқушыларды теоремамен таныстырғанда неғұрлым олар саналы және белсенді қатынасатын болса, соғұрлым теорема және оның ілгерідегі дәлелдеуі оларға түсінікті болады. Теореманы оқушылардың бұрыннан білетін материалдарына сүйеніп, оларды негізге ала отырып логикалық жолмен дәлелдейтініміз белгілі.

Дәлелдеу процесінде қарастырылып отырған теорема мен өтілген теоремалар арасындағы логикалық байланысты көрсету үшін бір – екі теорема алып, олар «бұрынғы» қандай теоремалар арқылы дәлелдейтінін схема сызып түсіндірген жөн. Мұғалім әрбір келесі теореманы дәлелдеу үшін қандай өткен материалдарды қайталап келуді дер кезінде оқушыларға тапсырып отырғаны жөн.

Егер тапсырма алдын ала берілмеген болса, онда мұғалім теореманы дәлелдеу процесінің қай жерінде өтілген қандай материалдың, қалай қолданылып жатқанын толық түсіндіруі қажет және кейін сол теореманы қайталағанда оқушылардың өткен материалдарды қалай пайдалана білетінін тексеру керек.

Оқушыларға теореманы дәлелдей білуді үйрету үшін мұғалім алғашқы теоремадан бастап төмендегідей жұмыстар жүргізу керек:

• оқушыларды өз бетімен жұмыс істеуге үйрету;

• әуелгі кезде оқушылардың интуициясын, өмірде көрген білгендерін, көрнекіліктерді кең түрде пайдаланып, біртіндеп логикалық дәлелдеуді үйрете беру;

• теоремалардың өмірде қолданылатын орындарын көрсетіп, практикалық жұмыстар жүргізу;

• теореманы қолданып шешілетін есептер арқылы оқушыларды пәнге қызықтыру.

Әрбір теорема өзінің шартын (Р) және қорытындысын (Q) қамтиды. Мәселен, «Вертикаль бұрыштар тең» теоремасында «Вертикаль бұрыштар» - шарты, ал «тең» қорытындысы. Осы теоремаға «егер ... , онда ... » тіркестерін пайдаланып, тұжырымын басқаша, келісімді (силлогизм) түрде беруге болады, яғни «Егер бұрыштар вертикаль болса, онда олар тең болады». Бұл тұжырымның ерекшелігі, теореманың шарты (егер...) мен қорытындысы (онда ...) бір–бірінен ерекшеленіп тұрады. Кейбір жағдайларда теореманы «Егер..., онда...» тіркестерінсіз тұжырымдауға болады. Мұндай тұжырымдарды кесімді тұжырымдау дейді. Кесімді тұжырымдау әдетте қысқа, ыңғайлы болып келеді. Теореманың тұжырымын логикалық тілде былай жазады: Р (шарт) ⇒ Q (қорытынды).

Сондай–ақ мысалдағы қарама–қарсы теорема да жалған, өйткені тіктөртбұрыш теңбүйірлі трапеция бола алмайды, бірақ оның диагональдары тең. Ал кері теоремаға қарама – қарсы теорема әрдайым тура теоремамен мәндес болады. Осы сияқты, кері теорема мен қарама–қарсы теорема да мәндес болады. Кері және қарама – қарсытеоремаларды дәлелдеудің маңызы зор. Сондай–ақ олардың дәлелдеуін игерудің мәні ерекше. Біз кері теореманы дәлелдеудің әр - түрлі әдістеріне мысалдар келтірейік.

• Тура теорема. Егер шеңбердің екі хордасы тең болса, онда олар керетін доғалары да тең болады.

• Кері теорема. Егер шеңбердің екі доғасы тең болса, онда олар керетін хордалары да тең болады.

Теорема (қарама-қарсы). Егер шеңбердің екі хордасы тең болмаса, онда олар керетін доғалар да тең болмайды.

Дәлелдеу. Теореманың шарты бойынша АВ СD. Сондықтан АВ СD₁ болатындай D₁ нүктесін салайық.

Онда алдыңғы теорема бойынша AmB CnD₁, сонда мынадай екі жағдай болуы мүмкін:

• АВ СD болса, онда AmB CnD,

• АВ СD болса, онда AmB CnD.

Олай болса, AmB CnD. Дәлелдейтініміз осы еді.

Қарсы жору әдісі теоремаларды дәлелдеуге жиі қолданылатындықтан, оны кейінірек мүмкіндігінше жете қарастырамыз. Теореманы дәлелдеудің бұл әдісі үш сатыдан тұрады:

• Теореманы дәлелдегенде оның қорытындысын бекерге шығарамыз, яғни дәлелдеуді талап ететін байламдарға қарсы ұйғарамыз (біздің мысалда доғаларды керетін хордалар тең емес).

• Қабылданған ұйғаруға байланысты логикалық дұрыс ой қорытулар жасай отырып, соңында қайшылыққа келеміз (мысалда кесінді өзінің бөлігіне тең).

• Логикалық дұрыс талдау жасағанмен қайшылыққа келеміз, олай болса, біздің ұйғаруымыз дұрыс емес деп байлам жасаймыз. Демек, дәлелдеуді талап еткен қорытынды дұрыс (яғни, мысалда АВ СD деуіміз жалған, олай болса АВ СD ).

Әр түрлі ғылымдардағы дәлелдеу де түрліше жүргізіледі. Әрбір ғылымдағы негіздейтін ойдың мазмұны да түрлі – түрлі. Дәлелдеулердің барлығына ортақ және бірдей, оның нақтылы мазмұнына тәуелсіз жалпы ережелерін логика қорытынды шығару туралы ғылым, яғни бұрыннан белгілі және тексерілген білімдер негізінде, ешқандай тәжірибеге сүйенбестен тек ойлау заңдары мен ережелеріне сүйеніп жаңа білімдер алу жолы. Фолмальды логика мен математикалық дәлелдеу арасында құсастық бар. Математикалық дәлелдеулерге эмпирикалық жолмен дұрыстығын көрсетуді қолданцға болмайды. Академик Ә. Нысанбаев атап көрсеткендей: «Математиканың жаратылыстанудан басты айырмашылығы, оның логикалық, дедуктивтік сипатына. Дәлелдеу математикалық әдістің жүрегі болып табылады».

Кез келген дәлелдеу үш құрамды бөліктерден тұрады: тезис, дәлел және демонстрациялау. Дәлел тезисі деп дәлелдеуді қажет ететін пайымды айтады. Дәлел (негіздеме, аргумент) – тезистің ақиқаттығын немесе жалғандығын немесе дәлелденген пайым. Демонстрациялау – дәлелдеудің негізінде тезистің дұрыстығы (немесе жалғандығы) туралы қорытынды шығарылатын логикалық пайымдау.