5 Тапсырманы орындау мысалдары

Мысал 1. Ұзындығы О₁О = l кривошип О₁ нүктесі арқылы өтетін өсті айнала қозғалып, берілген уақыт кезеңінде бұрыштық жылдамдығы мен бұрыштық үдеуі болады. (33 – сурет, а).

Кривошиптің О нүктесінде радиус r дөңгелек орналастырылған, ол қозғалмайтын радиусы R = l – r дөңгелекті сырғымай қозғалады. Берілген уақыттағы бұрыштық жылдамдық _I және бұрыштық үдеу _I , А және В нүктелерінің жылдамдықтары мен үдеулерін анықтау керек.

Шешуі

Механизм қозғалатын екі денеден тұрады: О₁О кривошипі айналмалы қозғалыс және 1-ші дөңгелек жазық-параллель қозғалысын жасайды.

Есепті шығару үшін алдымен 1-ші дөңгелектің қозғалысын қарастырамыз. Есептің берілуі бойынша осы дөңгелектің О нүктесінің жылдамдығы ₀ -ді және үдеуі ₀ –ді анықтап, осы нүктені полюс деп аламыз.

₀ мен₀ -ді анықтау. Кривошиптің  мен  белгілі болғандықтан, табамыз:

₀ =  О₁О =  l,

.

мен векторларының бағыты  мен  арқылы анықталады, вектор O₁ –ден О –ға қарай бағытталады. Оларды суретке түсіреміз.

-ларды анықтау. Дөңгелектердің жанасқан нүктесі Р 1-ші дөңгелектің ЛЖЦ-і болады; сондықтан 1-ші дөңгелектің бұрыштық жылдамдығы тең болады:

(a) ал -дің бағыты -дың бағытымен анықталады.

1-ші дөңгелектің және ЛЖЦ білу арқылы А және В нүктелерінің жылдамдықтарын анықтаймыз

мен векторлары АР мен ВР-ға перпендикуляр бағытталып, -дің бағытымен бағыттас болады.

-ді анықтау. (а) өрнегіндегі 1-ші дөңгелектің әртүрлі орнында тұрақты болады, онда

.

мен векторлары әртүрлі бағытталады, өйткені 1-ші дөңгелектің қозғалысы кемімелі, -дің бағыты -ге қарама-қарсы бағытталады.

А мен В нүктелерінің үдеулерін анықтау. 1-ші дөңгелекті қарастырып, оның О нүктесін полюс деп аламыз:

(б)

(в)

Табамыз:

мен векторлары қарастырылып отырған нүктелерден полюске қарай бағытталған, ал және оларға перпендикуляр бағытталған, олардың бағыты және -дің бағытымен анықталады (33 - сурет).

А және В нүктелерінің үдеулерін құрастыратын барлық векторларды суретке түсіріп, сосын (б) және (в) векторлық теңдеулерді координаталар өстеріне проекциялаймыз

Жауабы:

2 мысал. Механизм бір-бірімен шарнирмен байланысқан 1, 2, 3, 4-ші стержендерінен және В ползунынан тұрады, ал қозғалмайтын О₁ және О₂ нүктелері шарнирмен бекітілген, Д нүктесі 2-ші стерженнің ортасында орналасқан. Стержендердің ұзындықтары: l₁=0,4 м; l₂=1,2 м; l₃=1,4 м; l₄=0,6 м арқылы берілген. Механизмнің суретте көрсетілген орны бойынша, О,А стерженнің берілген бұрыштық жылдамдығы ₁=2c^-1, бұрыштық үдеуі ₁=4 c^-2 арқылы белгілі уақыт кезеңіндегі В және Е нүктелерінің жылдамдықтары мен , бұрыштық жылдамдық және АВ үзбесінің бұрыштық үдеуі -ны, сол сияқты В нүктесінің үдеуі -ны анықтау керек.

34 - сурет

Шешуі

I Механизм 4 денеден тұрады: 1- О₁А – айналмалы қозғалыс жасайды; 2 – АВ жазық-параллель қозғалысын; 3 – DЕ жазық-параллель қозғалысын; 4 – О₂Е – айналмалы қозғалыс жасайды. Ең алдымен бірінші дененің қозғалысын қарастырып, - ны анықтаймыз. Бұл нүкте, айналмалы қозғалыс жасайтын О₁А денесіне жатады, сондықтан А нүктесінің жылдамдығы тең болады

,

-ның бағыты -дің бағытымен анықталады.

жылдамдығын анықтау үшін, АВ стерженнің екі нүктесінің жылдамдықтарының, А және В нүктелерін қосатын түзуге проекциялары туралы теореманы пайдаланамыз. жылдамдығы, В ползунның қозғалыс бағытына сәйкес. Табамыз

υ_A cos 60⁰= υ_B cos 60⁰, осыдан υ_B = υ_A = 0,8 м/с.

- ны анықтау. Ол үшін АВ үзбесінің лездік жылдамдық центрі -ні А және В нүктелерінің жылдамдықтарына мен -ларға перпендикуляр жүргізіп, олардың қиылысқан нүктесін анықтаймыз. 34-ші суреттен AP₂=AD/cos30⁰=0,69 м, және _AB=υ_A/AP₂=1,16 c^-1. -ның бағыты -ның бағытымен анықталады.

-ні анықтау. Е нүктесі DE стерженіне жатады. Демек, -ні анықтау үшін ең алдымен -ны анықтау керек. D нүктесі АВ стерженіне жататындықтан, ол υ_Д = _AB DР₂ = (υ_A/AP₂) DР₂ = 0,40 м/с тең болады. -ның векторы кесіндісіне перпендикуляр, -ның бағытымен бағыттас болады.

Е нүктесі О₂ нүктесін айнала қозғалатын стержен -ге жатады, онда υ_{E ┴} O₂E, сол сияқты ол DE стерженінде жатады, сондықтан D және Е нүктелерінің жылдамдықтарына және -ға перпендикуляр жүргізіп, DE үзбесінің Л.Ж.Ц -ті табамыз. , онда  тең бүйірлі, пропорция құрып, анықтаймыз

.

-ның бағыты бойынша стерженнің бұрылу бағытын анықтаймыз, ал векторы осы стерженнің бұрылу бағытымен -ге перпендикуляр бағытталады.

-ны анықтау. Ең алдымен А нүктесінің үдеуін анықтаймыз

векторы -дің бойымен, А нүктесінен О₁ нүктесіне қарай бағытталады, ал -ге перпендикуляр, -дің бағытымен бағыттас болады; осы векторларды суретке түсіреміз. А нүктесін полюс деп алып және үдеу туралы теореманы пайдаланып, анықтаймыз

табамыз. векторы АВ-ның бойымен В-дан А-ға бағытталады. векторы АВ-ға перпендикуляр бағытталады (нақты бағытын болжаумен аламыз). Осы векторларды суретке түсіреміз.

-ны анықтау үшін соңғы векторлық теңдеуді -ға перпендикуляр х өсіне проекциялаймыз. В нүктесі бір уақытта ползунға жатады, оның өзінің қозғалыс бағыты бар, болжаумен -ны төмен қарай бағыттаймыз

Осыдан сан мәндерін қою арқылы = -2,05 м/с² анықтаймыз. Минус таңбасы, векторының суретте көрсетілген бағытқа қарама-қарсы екенін анықтайды.

анықтау. -ны анықтау үшін ең алдымен -ды анықтаймыз. Ол үшін соңғы -векторына қатысты теңдеуді Ву өсіне проекциялаймыз.

Осыдан анықтаймыз. Минус таңбасы, -дың суреттегі бағытқа қарама-қарсы екенін көрсетеді.

теңдігінен

.

анықталады.

болғандықтан, -ның бағыты сағат тілінің бағытына қарама-қарсы болады (бастапқы болжаумен алынған бағытқа қарама-қарсы).

Жауабы: υ_В=0,8 м/с, υ_Е=6,93 м/с, _АВ=1,16 с^-1, _АВ=3,3 с^-2, =2,05 м/с².

3 мысал. О нүктесі арқылы өтетін өсті бірқалыпты бұрыштық жылдамдығымен айналмалы қозғалыс жасайтын кривошипке АВ шатунымен ВС коромысло бекітілген (33 - сурет). ОА=r=0,5 м, АВ=2r, ВС=r2 өлшемдері берілген. Суретте көрсетілген орында, , . Осы орындағы В нүктесінің үдеуін, сол сияқты АВ – шатун мен ВС – коромыслоның бұрыштық жылдамдығы мен бұрыштық үдеуін анықтау керек.

V_A aA

P_AB

_AB

O

A

a_A

_AB

_0A

C

_BC

a^_B

45⁰

_BC

V_B

Y

aⁿ_B

aⁿ_BA

a^_BA

B

35 – сурет

Шешуі

Механизмді құрастыратын денелердің қозғалысын қарастырамыз: 1 – ОА – айналмалы; 2 – АВ – жазық-параллель; 3 – ВС – айналмалы қозғалыстар жасайды.

Шешімді ОА –дан бастап, -ны анықтаймыз

.

мен -ны анықтау. ОА – кривошипі бірқалыпты айналмалы қозғалыс жасайды, яғни , сондықтан

= _OA OA = _OA r = 2 (м/с),

= ²_OA OA = ²_OA r = 8 (м/с²).

-ның векторы ОА-ға перпендикуляр, -ның бағытымен бағыттас болады, ал -ның векторы -ның бойымен А-дан О-ға қарай бағытталады.

-ны анықтау. АВ – шатуны жазық-параллель қозғалысын жасайтындықтан, ең алдымен оның ЛЖЦ-ін анықтаймыз. ОА мен АВ-ның ортақ нүктесі А-ның жылдамдығы толығымен анықталады, ал АВ мен ВС үзбесінің ортақ нүктесі В-ның жылдамдығы айналмалы қозғалыс жасап тұрған ВС-ға перпендикуляр бағытталады. және жылдамдықтарына перпендикуляр жүргізіп, АВ үзбесінің ЛЖЦ-і -ны анықтаймыз. АР_АВВ-дан , сондықтан

-ның айналу бағыты суретте көрсетілген.

В – нүктесінің үдеуін анықтау. Қатты дененің жазық-параллель қозғалысындағы нүктенің үдеуін анықтайтын теореманы пайдаланамыз

.

Бұл өрнектегі -ның бағыты мен шамасы белгісіз. Сонымен қатар үдеуінің шамасы белгісіз, 1-ші мысалда қолданған тәсілмен -ны анықтауға болмайды (А нүктесі ЛЖЦ-не дейінгі қашықтық тұрақты емес). Бір себептен В нүктесі ВС үзбесіне жататындықтан, оның үдеуі

формуласымен анықталады.

Мұндағы оңай анықталады, ал - белгісіз, өйткені белгісіз. (а) және (б) векторлық теңдеулердің оң жақтарын теңестіріп табамыз

.

Бұл векторлық теңдеуде және үдеулерінің шамалары белгісіз, бірақта бағыттарын болжаммен аламыз. Осы векторлық теңдеуді координата өстеріне проекциялап, екі скалярлық теңдеулерден белгісіз шамаларды анықтаймыз. Ең алдымен мен үдеулерін анықтаймыз.

-ны анықтау. белгілі болғандықтан табамыз

= ²_АВ AB = 4 (м/с²).

- ның векторы АВ – ның бойымен В-дан А-ға қарай бағытталады.

- ны анықтау. белгілі, сондықтан

.

- ның векторы ВС – ның бойымен В- дан С – ға қарай бағытталады.

мен - ны анықтау. - ды анықтау үшін (в) – векторлық теңдеудің екі жағында х және у өстеріне проекциялаймыз

х: cos 45⁰ + cos 45⁰ = ,

у: .

Сан мәндерін қойып, = - 42 (м/с²), анықтаймыз.

Минус таңбасы, векторы таңдап алынған бағытқа қарама-қарсы екенін көрсетеді, яғни - ға қарама-қарсы (ВС кемімелі айналмалы қозғалыс жасайды).

және - ларды анықтағаннан кейін, - ны табамыз

және -ларды анықтау. Анықталған және арқылы табамыз _ВС = υ_B/BC = 4 (c^-1), _BC=| |/ВС=8 (с^-2), .

- ның бағыты - ның бағытымен анықталады, ал - ның - -дың нақтылы бағытымен, - - дың нақтылы бағытымен. мен - ның бағыттарын суретте көрсетеміз.

Жауабы: _ВС = 4с^-1, _АВ =2 с^-1, _АВ = 20с^-2, _ВС = 8с^-2, = 12,65м/с².