3. Дифференциальные уравнения 2-го порядка

Дифференциальным уравнением 2-го порядка называется уравнение вида

₍₃₀₎

где х – независимая переменная, y(х) – неизвестная функция этой перемен_{ной, и – ее первая и вторая производные.}

Иногда уравнение 2-го порядка встречается в форме, разрешенной относительно второй производной:

Общее решение уравнения 2-го порядка имеет вид:

y = g(x, C₁, C₂), (31)

где С₁ и С₂ – две произвольные постоянные.

Решение, полученное в неявном виде

G(x, y, C₁, C₂) = 0,

называется общим интегралом уравнения 2-го порядка.

Всякое решение, получающееся из общего решения при конкретных числовых значениях произвольных постоянных С₁ и С₂, является его частным решением.

Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка (30) состоит в нахождении частного решения уравнения, удовлетворяющего двум начальным условиям:

_{, (32)}

где x₀, y₀, y₁ – заданные числа.

Для решения задачи Коши нужно подставить в общее решение (31) и его производную заданные начальные условия

_,

решить полученную систему двух уравнений относительно неизвестных С_{1 и С2 и подставить найденные значения постоянных в общее решение:}

_{– решение задачи Коши.}

4. Решение дифференциальных уравнений 2-го порядка, допускающих понижение порядка

В некоторых случаях дифференциальное уравнение 2-го порядка можно решить методом понижения порядка. Использование этого метода позволяет свести решение уравнения 2-го порядка к решению уравнения 1-го порядка.

4.1. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, не содержащие искомой функции

Уравнение такого типа имеет вид:

_{. (33)}

Отличительной особенностью этого уравнения является то, что в него _{не входит явно искомая функция у, а входят только ее производные и .}

Для решения уравнения (33) используется способ подстановки. Вме_{сто производной введем новую неизвестную функцию = z(x), тогда . Подставляя в (33) вместо и соответственно z и , полу}чим дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно новой неизвестной функции z(x):

.

Определив тип этого уравнения и решив его, следует записать его об_{щее решение в виде , а затем вернуться к функции у: . Полученное уравнение является дифференциальным уравне}нием 1-го порядка. Решая его, получаем общее решение уравнения (33):

.

Таким образом, решение уравнения 2-го порядка (33) сводится к последовательному решению двух дифференциальных уравнений 1-го порядка.

_{Пример 4. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям}

Решение. Данное дифференциальное уравнение – это дифференци_{альное уравнение 2-го порядка, не содержащее явно у. Полагаем = z(x), , тогда уравнение примет вид:}

.

Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка относитель_{но функции z(x). Положим Подставив z и в уравнение, получим , или}

_(**)

_{Найдем функцию v(x) решая уравнение}

_{Из последнего уравнения, полагая получаем: – частное решение уравнения .}

_{Подставим найденную функцию в уравнение (**) и най}дем общее решение этого уравнения:

_{– общее решение уравнения .}

_{Запишем общее решение уравнения :}

.

_{Так как z = , то получаем дифференциальное уравнение для функции} у(х):

_(***)

Прежде чем интегрировать это уравнение, целесообразно определить _{значение постоянной С, используя начальное условие}

_{Подставив значение в дифференциальное уравнение (***),} получим:

Проинтегрируем:

Найдем значение постоянной С₁, используя начальное условие

Запишем частное решение исходного дифференциального уравнения, _{удовлетворяющее заданным начальным условиям: .}

_{Ответ: .}