2.2. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Дифференциальное уравнение вида

₍₂₂₎

где p(x), q(x) – заданные функции, называется линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка.

Отличительной особенностью линейного уравнения (22) является _{то, что искомая функция y и ее первая производная входят в уравнение} линейно – в первых степенях и не перемножаются между собой.

Для решения уравнения (22) воспользуемся способом подстановки. Будем искать неизвестную функцию y в виде произведения двух тоже пока _{неизвестных функций: положим y = u(x)v(x). Тогда Подставив значения y и в уравнение (22), получим:}

₍₂₃₎

Если выбрать v(x) так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обратилось в нуль, т. е.

_{, (24)}

то для второй функции u(x) из равенства (23) получится уравнение

₍₂₅₎

Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения (22) сводится к решению двух уравнений (24) и (25), каждое из которых является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Общее решение уравнения (22) есть произведение какого-либо частного решения уравнения (24) и общего решения уравнения (25):

₍₂₆₎

_{Пример 2. Найти решение дифференциального уравнения}

_{которое удовлетворяет условию (задача Коши).}

Решение. Разделив все члены уравнения на х, перепишем уравнение _{в виде Сравнивая его с уравнением (22), убеждаемся, что оно} является линейным дифференциальным уравнением.

_{Положим y = u(x)v(x), тогда Подставив y и в уравнение, получим:}

_(*)

_{Найдем функцию v, решая уравнение}

(в данном случае удобно использовать логарифмическую константу _{интегрирования, положив ).}

_{Из последнего уравнения следует: – общее решение, а при соответствующем подборе получаем – частное решение уравнения .}

_{Подставив найденную функцию в уравнение (*), получим уравнение для функции u: . Найдем функцию – общее решение} этого уравнения:

.

Общим решением исходного уравнения является функция

.

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданному начальному _{условию Для этого подставим в общее решение вместо x, y числа соответственно:}

Подставляя найденное значение С в общее решение, получим искомое _{частное решение (решение задачи Коши):}

_Ответ:

2.3. Уравнения Бернулли

Дифференциальное уравнение вида

₍₂₇₎

_{где n – действительное число, , называется уравнением Бернулли.}

Уравнение Бернулли является обобщением линейного дифференциального уравнения (22) и может быть решено тем же способом.

Пример решения уравнения Бернулли приведен в образце выполнения контрольной работы.

2.4.Однородные уравнения

Функция f(x,y) называется однородной функцией m-го порядка (изме_{рения), если}

Дифференциальное уравнение вида

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 (28)

называется однородным, если P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одного порядка.

Однородное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду

₍₂₉₎

_{С помощью подстановки , т. е. однородное диффе}ренциальное уравнение (29) приводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции t(x).

_{Пример 3. Решить дифференциальное уравнение:}

_{Решение. Здесь , обе функции – одно}родные, 2-го порядка, так как выполнено

.

_{Разрешим данное уравнение относительно . Для этого запишем его в виде и разделим обе части на xydx, заменяя при этом на ; в результате получим исходное уравнение в виде (29): .}

_{Введем подстановку y = tx, откуда . Тогда уравнение при}мет вид:

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции t(х).

Разделяем переменные t и х:

Переходим к интегрированию:

Здесь использовано:

_{Заменяя t на и упрощая результат, получаем:}

Поскольку функцию y(x) сложно выразить явным образом через х и С, запишем решение в форме общего интеграла уравнения.

_{Ответ: – общий интеграл уравнения.}

Для определения типа дифференциального уравнения 1-го порядка и выбора метода его решения можно использовать табл. 3.

Таблица 3

Тип дифференциального уравнения	Вид, к которому приводится уравнение	Метод решения
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными		Разделение переменных:
Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка		Замена: y = u(x)v(x),
Уравнение Бернулли		Замена: y = u(x)v(x),
Однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка		Замена: y = tx, .