8. Вычисление площади плоской фигуры в декартовой системе координат (дск)

К риволинейной трапецией в ДСК называется фигура, ограниченная прямыми x = a, x= b, y = 0 и кривой y = f(x), где для (рис. 1).

Формула для вычисления площади криволинейной трапеции:

. (11)

Е сли фигура Ф ограничена в ДСК линиями x = a, x= b, y = f₁(x) и y = f₂(x), где для (рис. 2), то площадь Ф можно вычислить по формуле:

. (12)

9. Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат (пск)

К риволинейным сектором в ПСК называется фигура, ограниченная лучами и кривой , где (рис. 3).

Формула для вычисления площади криволинейного сектора:

. (13)

10. Вычисление объема тела вращения

Пусть криволинейная трапеция, ограниченная прямыми x = a, x= b, y = 0 и непрерывной кривой y = f(x), где для , вращается вокруг оси ОX. Объем полученного при этом тела вращения (рис. 4) вычисляется по формуле:

. (14)

Если плоская фигура ограничена линиями x = a, x= b, y₁ = f₁(x) и y₂ = f₂(x), где для , то объем полученного при ее вращении вокруг ОX тела (рис. 5) можно вычислить по формуле:

. (15)

1 1. Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть плоская кривая АВ задана уравнением y = f(x), где . Если функция f′(x) и ее производная f′(x) непрерывны на промежутке [a; b], то длина кривой АВ вычисляется по формуле:

. (16)

Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы 5

Задача 1. Найти неопределенные интегралы:

, , в) , .

В примерах правильность полученных результатов проверить дифференцированием.

Задача 2. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

а) , б) .

Задача 3. Вычислить с помощью определенного интеграла площадь плоской фигуры:

а) ограниченной в ДСК линиями l₁: и l₂: ;

б) ограниченной в ПСК линией l: .

Сделать чертежи.

Задача 4. Вычислить с помощью определенного интеграла объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями

l₁: y = 2x² и l₂: y = 6x. Сделать чертеж.

Задача 5. Вычислить с помощью определенного интеграла длину дуги кривой, заданной в ДСК уравнением , где .

Решение задачи 1

а) Так как , то используя формулу (3), получим:

.

Проверим результат дифференцированием:

следовательно, выполнено условие (1).

Ответ: = .

б) Интеграл относится к типу интегралов, берущихся по частям; это интеграл так называемого второго типа. Используя формулу (4), получим:

.

Проверим результат дифференцированием:

.

Ответ: = .

в) Подинтегральная функция является правильной рациональной дробью, поэтому ее можно представить в виде суммы простейших дробей:

, отсюда

или .

Неопределенные коэффициенты А, В, С найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях тождества:

Коэффициенты А, В, С можно найти другим способом – подставляя в тождество "удобные" значения х (метод частных значений):

Из первого уравнения получим: А = 11/12. Почленно вычитая два последних равенства, получим: , и из последнего уравнения

.

Таким образом,

Переходим к интегрированию:

.

Здесь использовано:

,

.

Проверим результат дифференцированием:

.

Ответ: = .

г) Применим универсальную тригонометрическую подстановку:

.

Возвращаясь к переменной х, получаем:

Ответ: = .

Решение задачи 2

а) Данный интеграл является несобственным интегралом первого рода, поэтому

следовательно, интеграл сходится и равен .

Здесь использовано:

Ответ: интеграл сходится и равен .

б) Данный интеграл является несобственным интегралом второго рода, так как х = 13 – точка бесконечного разрыва подинтегральной функции. Поэтому

,

следовательно, интеграл сходится и равен .

Ответ: интеграл сходится и равен .

Решение задачи 3

а) Найдем точки пересечения кривых, для чего составим и решим систему . Приравнивая правые части, получаем уравнение , решив которое, найдем абсциссы точек пересечения: x = –1, x = 3.

Построим чертеж (рис. 6). На рисунке видно, что на промежутке [–1; 3].

И спользуя формулу (12), вычислим площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

Ответ: единиц площади.

б) Для построения кривой в ПСК составим таблицу значений функции на промежутке .

	0	π/4	2π/4	3π/4	π	5π/4	6π/4	7π/4	2π
	13	12,7	12	11,3	11	11,3	12	12,7	13

П остроим чертеж в ПСК (рис. 7). Так как фигура ограничена кривой, заданной в полярной системе координат, то площадь фигуры, ограниченной заданной линией, вычислим по формуле (13):

.

Для получаем:

.

Ответ: единицы площади.

Решение задачи 4

Для построения фигуры Ф, ограниченной кривыми l₁ и l₂, нужно найти точки их пересечения, т. е. решить систему: . Приравнивая правые части равенств, получаем уравнение 2x² – 6x = 0, решив которое, найдем абсциссы точек пересечения кривых: x = 0, x = 3.

Объем тела вращения, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси OX (рис. 8), можно найти как разность объемов двух тел по формуле (15):

.

Ответ: единиц объема.

Решение задачи 5

Кривая задана уравнением где , поэтому ее длина вычисляется по формуле (16): .

Для получаем: , тогда длина дуги кривой

Ответ: единиц длины.