Справочный материал по теме "Интегральное исчисление функции одной переменной"
1. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a, b), если для всех x из этого интервала выполняется равенство
. (1)
Неопределенным
интегралом
от функции f(x)
называется множество всех первообразных
этой функции, то есть неопределенный
интеграл – это выражение вида
,
где
.
Процедуру нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием. При интегрировании используют: таблицу интегралов (табл. 2), свойства интегралов и специальные методы интегрирования, основные из которых – замена переменной и интегрирование по частям.
Таблица 2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
|
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.2. Свойства неопределенного интеграла. Замена переменной под знаком неопределенного интеграла
При интегрировании функций наиболее часто используются следующие его свойства:
1)
;
2)
;
3)
.
Пример
1.
Найти
.
Решение. Воспользуемся свойствами 1–3, а также таблицей интегралов:
=
+ 3
=
.
Ответ:
=
.
Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (метод подстановки), который в некоторых случаях позволяет свести заданный интеграл к табличному интегралу.
Замена переменной под знаком неопределенного интеграла осуществляется по формулам:
или
. (2)
Пример
2.
Найти
.
Решение. Воспользуемся формулой (2) и таблицей интегралов:
Ответ:
.
Этот интеграл можно взять, используя подведение под знак дифференциала части подинтегральной функции (не прописывая замену переменной)
=
=
.
Наиболее часто прием подведения под знак дифференциала используется при линейной замене переменной интегрирования:
,
(3)
так
как
.
Пример
3.
Найти
.
Решение. Согласно формуле (3) можно записать:
.
Теперь воспользуемся свойством 2, а также таблицей интегралов:
Ответ:
=
.
3. Интегрирование по частям
Формулой интегрирования по частям называют следующую формулу:
.
(4)
Обычно
за
принимают
такое выражение, интегрирование которого
не вызывало бы трудностей, а за u
– функцию, дифференцирование которой
приводит к ее упрощению.
Можно выделить два основных класса интегралов, берущихся по частям:
1)
;
;
;
– здесь
за u
принимают
целый многочлен
,
за
– оставшееся выражение, то есть, например
.
2)
;
;
– здесь
за u
принимают обратную функцию, например,
arcsinbx,
за
– оставшееся выражение, то есть
.
4. Интегрирование рациональных дробей
Рациональной
дробью
называют отношение двух целых многочленов
и
,
т. е.
=
.
Для интегрирования рациональной дроби
необходимо предварительно разложить
ее, т. е.
представить
в виде суммы простейших дробей видов:
где
k,
r
– целые положительные числа, а трехчлен
не имеет действительных корней.
Если
дробь
неправильная (
),
то необходимо предварительно выделить
целую часть дроби.
5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций
Для
нахождения интегралов видов
и
используют тригонометрические формулы:
(5)
Для
нахождения интегралов вида
,
где R
– рациональная функция (не содержащая
sinх
и cosx
под знаком корней),
используют
универсальную подстановку:
,
которая сводит
к интегралу от рациональной функции,
так как
и
(6)
6. Формула Ньютона-Лейбница
Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид:
, (7)
если
и
непрерывна на
.
Пример
4.
Вычислить определенный интеграл
.
Решение. Это определенный интеграл, берущийся по частям, поэтому, применяя формулу (4), а затем формулу Ньютона-Лейбница, получаем:
=
.
Ответ:
=
.
7. Несобственные интегралы первого и второго рода
Примером несобственного интеграла первого рода является интеграл
(8)
Интегралы
, (9)
где
a
– точка
бесконечного разрыва функции
,
и
, (10)
где b – точка бесконечного разрыва функции , относятся к несобственным интегралам второго рода.
Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел в правой части равенства. Если же предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.
Пример
5.
Исследовать на сходимость интеграл
.
Решение. Это несобственный интеграл первого рода, поэтому
.
Ответ:
интеграл
сходится и равен
.
Пример
6.
Исследовать на сходимость интеграл
.
Решение. Это несобственный интеграл второго рода, так как х = 1 – точка разрыва второго рода подинтегральной функции, поэтому
,
следовательно, интеграл расходится.
Ответ: интеграл расходится.