6. Системы двух линейных дифференциальных уравнений и их решение порядка методом повышения порядка

Нормальная система двух линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка имеет вид:

(46)

где х – независимая переменная, y(x) и z(x) – неизвестные функции, f₁(x) и f₂(x) – известные функции a₁, a₂, b₁, b₂ – коэффициенты. Общее решение системы (46) имеет вид:

,

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

Для решения системы (46) методом повышения порядка необходимо исключить одну из неизвестных функций. Для этого можно выразить одну из функций, например, z(x), из одного уравнения системы:

, (47)

продифференцировать ее и подставить z и во второе уравнение системы. После упрощения получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка _{вида . После получения его решения , следует, используя (47), найти вторую неизвестную функцию: и записать ответ.}

Если в системе (46) коэффициенты a₁, a₂, b₁, b₂ – постоянные, то в результате применения метода повышения порядка получается линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами:

,

решение которого рассмотрено в п. 5.

Пример использования метода повышения порядка для решения системы двух линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка приведен в образце выполнения контрольной работы.

Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы 6

Задача 1. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка: _{и точка . Определить тип дифференциального} уравнения. Найти общее решение дифференциального уравнения, уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М и уравнения еще 4-х интегральных кривых (любых). Построить все эти кривые в системе координат.

Задача 2. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка: _{Определить тип дифференциального уравнения и найти его} общее решение.

Задача 3. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка: _{и начальные условия: Определить} тип дифференциального уравнения и найти его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Задача 4. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка: _{. Определить тип дифференциального уравнения} и найти его общее решение, используя метод вариации произвольных постоянных.

Задача 5. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка: _{. Определить тип дифференциального} уравнения и найти его общее решение, используя метод неопределенных коэффициентов.

Задача 6. Дана система линейных дифференциальных уравнений 1-го _{порядка: . Найти общее решение системы методом по}вышения порядка.

Решение задачи 1

_{Данное дифференциальное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Заменим на и разделим переменные, умножая обе части уравнения на}

.

Интегрируя полученное равенство, получим:

_{откуда . Заменяя , запишем общее решение данного уравнения: .}

Найдем уравнение интегральной кривой, проходящей через точку _{, т. е. частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию: Для этого подставим в общее решение вместо x, y числа соответственно: . Подставляя най}денное значение С в общее решение, получим искомое частное решение _{(уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М): .}

Найдем уравнения еще нескольких интегральных кривых.

П остроим все эти кривые в системе координат (рис. 9).

_{Ответы: ;}

Интегральные кривые изображены на рис. 9.

Решение задачи 2

_{Данное дифференциальное уравнение – это уравнение Бернулли (см. (27)), в котором . Применим подстановку , тогда Подставив значения y и в уравнение, получим , или}

(****)

_{Найдем функцию v(x), решая уравнение}

.

Проинтегрируем левую и правую части этого уравнения:

_{при соответствующем подборе получаем – частное решение уравнения .}

_{Подставляя найденную функцию в (****), получим дифференциальное уравнение для функции u: , или .}

_{Найдем функцию – общее решение этого уравнения:}

Общим решением исходного уравнения является функция

.

_{Ответ: .}

Решение задачи 3

_{Данное дифференциальное уравнение – это диф}ференциальные уравнения 2-го порядка, не содержащие независимой пе_{ременной x (см. (34)). Полагаем = p(y), тогда и уравнение} примет вид:

_{Решая первое уравнение, получим: – первое семейство решений. Оно не удовлетворяет начальному условию}

_{Второе уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные, заменяя на и проинтегрируем:}

_{где . Производя обратную замену p = , получим дифференци}альное уравнение 1-го порядка относительно неизвестной функции y:

Это уравнение с разделяющимися переменными. Прежде чем его интегрировать, целесообразно определить значение постоянной С₁, используя _{начальные условия (y = 3, = 2 при х = 1):}

_{Подставив значение в дифференциальное уравнение, получим:}

Разделяя переменные и интегрируя, найдем

Здесь использовано: .

Определим значение постоянной С₂, соответствующее начальному ус_{ловию y(1) = 3:}

Отсюда получим частный интеграл, удовлетворяющий заданным на_{чальным условиям (решение задачи Коши): .}

Получим частное решение уравнения, выразив y(x):

_Ответ:

Решение задачи 4

_{Данное дифференциальное уравнение – это ли}нейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами (см. (38)). Его общее решение имеет вид _{Найдем его в 2 этапа (см. п. 5.3.).}

1 этап. Построим общее решение y₀ соответствующего однородного _{уравнения . Составим для него характеристическое уравнение и найдем его корни: По табл. 4 определим вид его общего решения}

_{2 этап. Построим частное решение данного неоднородного уравне}ния при помощи метода вариации произвольных постоянных. Здесь _{, т. е. , тогда частное решение будем искать в виде .}

Составим условиям вариации согласно (40):

_{Поделив оба уравнения почленно на , получим систему с неизвестными и :}

Для решения этой системы можно использовать метод исключения. _{Выразим из первого уравнения и подставим во второе:}

_{затем найдем}

Переходим к интегрированию:

(константы интегрирования считаем равными нулю).

_{Тогда , и общее решение}

.

_{Ответ: .}

Решение задачи 5

_{Данное дифференциальное уравнение –} это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами (см. (38)). Его общее решение имеет вид _{Найдем его в 2 этапа.}

1 этап. Построим общее решение y₀ соответствующего однородного _{уравнения Составим для него характеристическое уравнение и найдем его корни: По табл. 4 определим вид его общего решения}

_{2 этап. Построим частное решение данного неоднородного уравне}ния при помощи метода неопределенных коэффициентов. В заданном _{уравнении – правая часть 2-го специального вида: , где . Числа , тогда, согласно (45), частное решение будем ис}кать в виде:

_{где А и В – неизвестные постоянные. Подставим в данное неод}нородное уравнение:

_{Сократим обе части тождества на и приравняем коэффи}циенты при cos3x и при sin3x в левой и правой частях тождества.

Решая полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными, _{находим Подставив найденные значения А и В в выражение , получим частное решение неоднородного уравнения:}

Объединяя результаты 2-х этапов, запишем ответ – общее решение данного уравнения.

_Ответ:

Решение задачи 6

_{Для решения системы методом повышения поряд}ка исключим из нее одну из функций – z(x).

_{Выразим z(x) из первого уравнения системы: , продифференцируем ее: и подставим z и во второе урав}нение системы:

.

После упрощения получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно функции у(х):

.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами (см. (38)). Его общее решение име_{ет вид . Найдем его в 2 этапа.}

1 этап. Построим общее решение y₀ соответствующего одно- родного _{уравнения . Составим для него характе- ристическое уравнение и найдем корни: – корни комплексные сопряженные: . Здесь , тогда по таблице 4 определим} вид общего решения однородного уравнения:

_.

2 этап. Построим частное решение неоднородного уравнения. Здесь _{– правая часть 1-го специального вида: , где , n = 1. Число не совпадает с корнями характеристического уравнения , тогда, согласно (44), частное решение будем ис}кать в виде:

,

где А, B – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

_{Найдем производные и подставим в неоднородное уравнение , при этом для простоты используем сле}дующую форму записи:

_{(здесь слева от черты записаны коэффициенты, с которыми} входят в уравнение). Приравниваем левую и правую части уравнения по_{сле подстановки в него :}

.

Приравнивая коэффициенты при х¹ и при х⁰ в обеих частях тождества, получаем:

_{откуда находим: A = –1, B = 4. Подставляя найденные значения в , получим: .}

Объединяя результаты 2-х этапов, получаем общее решение уравнения :

.

Найдем вторую неизвестную функцию:

Ответ: