III. По способу логико-математического описания:

1) аналитическая модель – формула, представляющая математические зависимости в экономике и показывающая, что результаты (выходы) находятся в функциональной зависимости от затрат (входов). В самом общем виде ее можно записать так:

U = f(x),

где x — совокупность (вектор) выходов;

f — зависимость, которая записана в виде математической функции.

2) вероятностная (стохастическая) модель – это модель, которая содержит случайные элементы. Таким образом, при задании на входе модели некоторой совокупности значений, на ее выходе могут получаться различающиеся между собой результаты в зависимости от действия случайного фактора.

3) детерминированная модель – это аналитическое представление закономерности, операции и т.п., при которых для данной совокупности входных значений на выходе системы может быть получен единственный результат. Такая модель может отображать как вероятностную систему (тогда она является некоторым ее упрощением), так и детерминированную систему.

4) дискретная модель – это экономико-математическая модель, все переменные и параметры которой являются дискретными величинами. Может отображать как дискретные системы, так и непрерывные системы, которые для этого приводятся к дискретному виду с помощью представления непрерывных величин в качестве дискретных (путем введения разного рода шкал, балльных оценок и т.п.).

Дискретность – прерывность (например, изменение экономических показателей во времени всегда имеет прерывный характер, поскольку происходит скачками : от одной даты (года, месяца и т.д.) к другой. Понятие дискретности противопоставляется понятию непрерывности.

5) матричная модель – это математическая модель, представленная в форме таблицы, матрицы.

6) линейная модель – это модель, отображающая состояние или функционирование системы таким образом, что все взаимозависимости в ней принимаются линейными. Соответственно она может формулироваться в виде одного линейного уравнения или системы линейных уравнений.

7) нелинейная модель – это экономико-математическая модель, отображающая состояние или функционирование системы (нелинейной системы, стохастической системы) таким образом, что все или некоторые взаимосвязи в ней принимаются нелинейными, т.е. не удовлетворяющими условиям линейности. Основная область применения нелинейных моделей — нелинейное программирование.

8) непрерывная модель;

9) регрессионная модель – это экономико-статистическая модель, основанная на уравнении регрессии, или системе регрессионных уравнений, связывающих величины экзогенных (входных, «объясняющих») и эндогенных (выходных) переменных.

(U = А + А^Х0 + А^Х1 + А^Х2)

10) сетевая модель – отражает взаимосвязь работ во времени.

IV. По временному признаку:

1) динамическая (трендовая) модель – теоретическая конструкция (модель), описывающая изменение (динамику) состояний объекта.

Динамические модели, описывают экономику в развитии (в отличие от статических, характеризующих ее состояние в определенный момент). Модель является динамической, если, как минимум, одна ее переменная относится к периоду времени, отличному от времени, к которому отнесены другие переменные.

Существуют два принципиально различных подхода к построению таких моделей:

Первый подход — оптимизационный. Он состоит в выборе из числа возможных траекторий (путей) экономического развития оптимальной траектории (например, обеспечивающей наибольший объем фонда потребления за плановый период).

Второй подход заключается в исследовании равновесия в экономической системе. В этом случае, переходя к экономической динамике, используют понятие «равновесная траектория» (т.е. уравновешенный, сбалансированный экономический рост), которая представляет собой результат взаимодействия множества ячеек экономической системы.

Равновесный сбалансированный рост (steady – state growth) — понятие теории экономического роста, не имеющее пока единого определения. По мнению ряда ученых, это такой рост экономики, при котором темп прироста запасов всех продуктов на протяжении рассматриваемого промежутка времени постоянный. При этом они разграничивают понятия сбалансированного роста без равновесия, т.е. с избыточными запасами, и собственно равновесного роста.

В общем виде динамические модели экономики сводятся к описанию следующих экономических явлений:

• начальное состояние экономики;

• технологические способы производства (каждый «способ» говорит о том, что из набора ресурсов x можно в течение единицы времени произвести набор продуктов y);

• критерия оптимальности (при первом из названных подходов).

Используемые в реальной практике динамические модели экономики временные ряды содержат три элемента:

1) тренд, сезонные переменные (сезонные колебания);

2) случайная переменная (остаток);

3) циклическая составляющая.

В качестве экзогенных величин могут выступать, например, выявленные статистическим путем макроэкономические зависимости, сведения о демографических процессах и т.п.; в качестве эндогенных величин — темпы роста, показатели экономической эффективности и др.

Математическое описание динамических моделей экономики производится с помощью систем дифференциальных уравнений (в моделях с непрерывным временем), разностных уравнений (в моделях с дискретным временем), а также систем обыкновенных алгебраических уравнений.

С помощью динамических моделей экономики решаются, в частности, следующие задачи планирования и прогнозирования экономических процессов: определение траектории экономической системы, ее состояний в заданные моменты времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов.

С точки зрения теоретического анализа большое значение приобрели динамическая модель фон Неймана и так называемые теоремы о магистралях.

Что же касается практического применения динамических моделей экономики, то оно находится еще в начальной стадии: расчеты по модели, хотя бы сколько-нибудь приближающейся к реальности, чрезвычайно сложны. Но развитие в этом направлении продолжается. Используются, в частности, многоотраслевые (многосекторные) динамические модели развития экономики

2) статическая (структурная) модель – это экономико-математическая модель, в которой все зависимости отнесены к одному моменту времени. Такими моделями могут описываться статические системы, но также и динамические системы — путем характеристики их состояния в заданный момент.

7-ой учебный вопрос. Классификация задач принятия решений.

Дерево целей и задач принятия решений – структурная модель процесса принятия решений, включающая его элементы по уровням (цели, задачи, мероприятия) и связи между ними (включение или подчиненность).

Является инструментом программно-целевого управления. Формирование дерева целей и задач происходит в два этапа:

1) выбор главной цели и ее расчленение (декомпозиция) до уровня задач и разработка мероприятий, с решения которых можно начинать работу по достижению цели.

2) количественная оценка элементов дерева целей и задач с помощью коэффициентов значимости позволяет рационально распределить ограниченные ресурсы, выделяемые для достижения заданной цели.

Классификационный признак:

1. Количество целей: однокритериальные и многокритериальные.

2. В зависимости от времени: динамические и статистические.

3. По полноте: в условиях определенности, неопределенности и риска.

Однокритериальные статистические:

1. В условия определенности: математическое программирование;

2. В условиях неопределенности: теория игр (минимакс), теория статистических решений, экспертные методы.

3. В условиях риска: теория вероятности, метод Монте-Карло, теория математического программирования, экспертные методы.

Однокритериальные динамические:

1. В условиях определенности: вариационные, теория оптимальных систем;

2. В условиях неопределенности: теория дифференциальных игр, экспертные методы.

3. В условиях риска: теория случайных процессов, статистическая динамика систем управления; экспертные методы.

Метод Монте-Карло (статистических испытаний) – один из методов статистического моделирования, основанный на кибернетической идее «черного ящика».

Он применяется в тех случаях, когда построение аналитической модели явления трудно или вовсе неосуществимо (например, при решении сложных задач теории массового обслуживания и ряда других задач исследования операций, связанных с изучением случайных процессов).

Применение Метода Монте-Карло можно проиллюстрировать примером из области теории очередей. Предположим, надо определить, как часто и как долго придется ждать покупателям в очереди в магазине при заданной его пропускной способности (допустим, для того, чтобы принять решение, следует ли расширять магазин). Подход покупателей носит случайный характер, распределение времени подхода (так можно назвать промежуток времени между каждыми двумя приходами покупателей) может быть установлено из имеющейся информации. Время обслуживания покупателей тоже носит случайный характер, и его распределение тоже может быть выявлено. Таким образом, имеются два стохастических или случайных процесса, взаимодействие которых и создает очередь.

Теперь, если наугад перебирать все возможности (например, число покупателей, приходящих за час), сохраняя те же характеристики распределения, можно искусственно воссоздать картину этого процесса. Повторяя такую картину многократно, каждый раз меняя условия (число приходящих покупателей), можно изучать получаемые статистические данные так, как если бы они были получены при наблюдении над реальным потоком покупателей.

Точно так же можно воссоздать искусственную картину работы самого магазина: здесь распределение времени подхода покупателей будет взаимодействовать с распределением времени обслуживания отдельного покупателя. Получаются опять два стохастических процесса. Их взаимодействие даст «очередь» с примерно такими же характеристиками (например, средней длиной очереди или средним временем ожидания), какими обладает реальная очередь.

Таким образом, смысл Метода Монте-Карло состоит в том, что исследуемый процесс моделируется путем многократных повторений его случайных реализаций. Единичные реализации называются статистическими испытаниями: отсюда второе название метода. Остается сказать, чту такое выбор вариантов наугад (или механизм случайного выбора). В простых случаях для этого можно применять бросание игральной кости (классический учебный прием), но на практике используют таблицы случайных чисел либо вырабатывают (генерируют) случайные числа на ЭВМ, для чего имеются специальные программы, которые называются генераторами случайных чисел.

Многокритериальные – теория многокритериальных задач в принятии целей, дерево решений, экспертные методы.

Совокупности различных методов, объединенных задачей наилучших решений – называются методы исследования операций.

Исследование операций – прикладное направление кибернетики, используемое для решения практических организационных (в том числе экономических) задач. Это комплексная научная дисциплина. Круг проблем, изучаемых ею, пока недостаточно определен. Иногда Исследование операций понимают очень широко, включая в него ряд чисто математических методов, иногда, наоборот, очень узко — как практическую методику решения с помощью экономико-математических моделей строго определенного перечня задач. Главный метод Исследования операций — системный анализ целенаправленных действий (операций) и объективная (в частности, количественная) сравнительная оценка возможных результатов этих действий.

Например, расширение выпуска продукции на заводе требует одновременного и взаимосвязанного решения множества частных проблем: реконструкции предприятия, заказа оборудования, сырья и материалов, подготовки рынка сбыта, совершенствования технологии, изменений системы оперативно-производственного планирования и диспетчирования, организационной перестройки, перемещения руководящих работников и т.д. При анализе возможных последствий принимаемых решений приходится учитывать такие факторы, как неопределенность, случайность и риск. К решению столь сложных задач привлекают экономистов, математиков, статистиков, инженеров, социологов, психологов и др., поэтому одной из особенностей Исследования операций считают его междисциплинарный комплексный характер.

Операционные исследования прежде всего предназначены для предварительного количественного обоснования принимаемых решений, поскольку они, как видно из примеров, очень сложны, требуют больших затрат и, главное, могут реализоваться многими способами (эти способы называются стратегиями или альтернативами). Кроме обоснования самих решений Исследование операций позволяет сравнить возможные варианты (альтернативы) организации операции, оценить возможное влияние на результат отдельных факторов, выявить «узкие места», т.е. те элементы системы, нарушение работы которых может особенно сильно сказаться на успехе операции и т.д.

Таким образом, сущность задач Исследования операций – поиск путей рационального использования имеющихся ресурсов для реализации поставленной цели.

Количественные методы Исследования операций строятся на основе достижений экономико-математических и математико-статистических дисциплин (теории массового обслуживания, оптимального программирования и т.д.). Разные математические методы применяются (в тех или иных комбинациях) при решении различных классов задач.

Среди важнейших классов задач Исследования операций можно назвать задачи управления запасами, распределения ресурсов и задачи назначения (распределительные задачи), задачи массового обслуживания, задачи замены оборудования, упорядочения и согласования (в том числе теории расписаний), состязательные (например, игры), задачи поиска и др. Среди применяемых методов — математическое программирование (линейное, нелинейное и т.п.), дифференциальные и разностные уравнения, методы теории графов, Марковские процессы, теория игр, теория (статистических) решений, теория распознавания образов и ряд других.

Считается, что Исследование операций зародилось накануне Второй мировой войны, когда в Англии на одной радиолокационной станции была создана группа специалистов для решения технических задач с помощью математики. Они сосредоточили внимание на сравнении эффективности путей решения задач, поиске оптимального решения. Участие в этой группе представителей разных специальностей предопределило комплексный, или, как теперь принято говорить, системный подход. В настоящее время в этом направлении работают сотни исследовательских учреждений и групп в десятках стран. Организованы общества Исследования операций, объединяемые международной федерацией (ИФОРС).

Методы Исследования операций, как и любые математические методы, всегда в той или иной мере упрощают, огрубляют задачу, отражая нелинейные процессы линейными моделями, стохастические системы — детерминированными и т.д. Жизнь богаче любой самой сложной схемы. Поэтому не следует ни преувеличивать значения количественных методов Исследования операций, ни преуменьшать его, ссылаясь на примеры неудачных решений. Уместно привести в связи с этим известное парадоксальное определение, которое дал крупный американский специалист в этой области Т.А. Саати: «Исследование операций представляет собой искусство давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими способами...»

Операция – совокупность взаимосвязанных действий, направленных на достижение цели

Модель операции – это достаточно точное описание операции с помощью математического аппарата (различного рода функций, уравнений, систем уравнений и систем неравенств и др.)

Методы исследования операций делятся:

1. Аналитические;

2. Статистические;

3. Математического программирования;

4. Теоретико-игровые методы.

Аналитические – между условием задачи и результатами устанавливаются аналитические и формальные зависимости.

• Метод теории вероятности (предназначен для описания закономерности в случайных явлениях);

• Метод теории Марковских процессов (предназначен для описания операций, различающихся по времени, случайных по времени);

• Метод теории массового обслуживания (рассматривает массовые повторяющиеся процессы);

• Метод динамики средних – применяется, когда зависимости между условиями и результатами описывается исходя из средних характеристик условий. Модели динамики средних основаны на следующем допущении: если в процессе участвует большое количество однородных единиц, то можно рассматривать средние результаты как неслучайные величины. Исследования показывают, что в случае 10 и более однородных единиц (процессов) такое допущение справедливо.

Статистические методы – сбор и анализ статистических данных, полученных как в результате фактических действий, так и выработанных искусственно, путем статистического моделирования.

• Последовательных анализ, дающий возможность принимать решения на основе гипотез, каждая из которых сразу же последовательно проверяется;

• Метод статистических испытаний или Монте-Карло заключается в том, что все входящие в модель случайные величины, процессы, функции, потоки движения с помощью датчика случайных чисел заменяются на неслучайные (детерминированные). Недостатком метода является достаточно большая трудоемкость расчета и невозможность предварительного определения качественного влияния какого-либо параметра на результат до проведения расчетов.

Математическое программирование – ряд методов, предназначенный для наилучшего распределения имеющихся ограниченных ресурсов и для составления рационального плана.

• Линейное программирование, все условия ведения операций описываются системой линейных уравнений, неравенств.

• Нелинейное программирование – все условия ведения операций описываются системой нелинейных уравнений.

• Динамическое программирование – служит для выбора плана выполнения многоэтапных действий, когда результат последующего действия зависит от предыдущего.

• Сетевое планирование.

Теоретико-игровые методы служат для обоснования решения в условиях неопределенности.

• Метод теории игр – неопределенность обстановки вызвана сознательными действиями конфликтующих сторон.

• Теория статистических решений – неопределенность обстановки вызвана объективными обстоятельствами, которые либо не известны, либо носят случайный характер.