Характеристика безопасности
При любых законах распределения с.в. R и F м.о. и дисперсия резерва прочности S:
;
. (4.8)
Для удобства вводят характеристику безопасности (при независимых R и F)
.
(4.9)
показывает
число стандартов (S),
укладывающихся в интервале от S
до
(рисунок).
Из (3.13) следует, что
,
(4.10)
где V(S) – коэффициент вариации (изменчивости) с.в. S (резерва прочности).
Можно записать и так
.
(4.11)
Для функции нормального распределения S вероятность разрушения:
.
(4.12)
Тогда, используя новую переменную под знаком интеграла (4.12), получим
,
(4.13)
где Ф() – интеграл вероятности Гаусса (4.12) с аргументом .
В таблице и на графике приведены зависимости характеристики безопасности от вероятности разрушения Q и неразрушения P.
|
2.25 |
3.25 |
3.75 |
4.25 |
4.75 |
5.25 |
Q |
10-2 |
10-3 |
10-4 |
10-5 |
10-6 |
10-7 |
|
Определять Q по (4.13) при больших затруднительно, поэтому используется асимптотическая формула
|
.
(4.14)
Пример 1
Случайная
нагрузка распределена по нормальному
закону.
=100кН,
(F)=10
кН. Предел текучести Ry=230
МПа. Определить площадь сечения
растянутого стержня А,
при которой обеспечивается вероятность
неразрушения P=0.99.
По
(4.13)
характеристика безопасности
=2,33. Учитывая
несущую способность R=ARy
по (4.9) имеем:
,
где
,
откуда площадь
(см2).
При детерминированном расчете, усилие F определено и равно :
A=F/Ry = 4.35 (см2).
Разница результатов =18,8%.
Пример 2
Нагрузка
F
и предел текучести Ry
– случайны, распределены нор-мально.
кН, (F)=10
кН,
МПа,
(Ry)=10
МПа, А =
5,36 (см2).
Определить вероятность неразрушения растянутого стержня.
Несущая способность вычисляется по формуле:
R=ARy.
Математическое ожидание несущей способности
.
Стандарт прочности материала
(R)=(Ry)A.
Определим характеристику безопасности (4.9)
.
По
(4.13) P=0.5+Ф(2.64)=0.9959.
Вероятность неразрушения выше, чем в
первом случае, так как для разрушения
и нагрузка и предел текучести одновременно
должны достичь неблагоприятных значений,
что менее вероятно (
).
Коэффициент запаса
Иногда вместо резерва прочности вводят случайный коэффициент запаса
K=R/F, (4.15)
здесь K, R, F – случайные величины.
Тогда вероятность разрушения:
,
(4.16)
где Pk(1) – функция распределения коэффициента запаса при аргументе K=1.