3.3. Числовые характеристики распределения системы двух случайных величин

1. М.о. , (3.25)

или в общем случае . (3.26)

Геометрически точка является проекцией на плоскость XOY центра тяжести объема, ограниченного поверхностью распределения p(x,y).

2. Дисперсия:

. (3.27)

3. Корреляционный момент с.в. X и Y:

. (3.28)

Корреляционный момент характеризует стохастическую зависимость между с.в. а также рассеивание. Корреляционный момент – м.о. произведения отклонений двух с.в. от их математических ожиданий , при .

Корреляционный момент – достоверная величина.

Если зависимости между X и Y нет, то K_xy=0, но из того, что K_xy=0 не следует независимость X и Y.

С.в. могут быть:

1) независимы, т.е. не коррелированы K_xy=0;

2) зависимы и коррелированы K_xy0;

3) зависимы и не коррелированы K_xy=0 (если поверхность плотности распределения симметрична относительно осей координат OX и OY, т.е. M(X)=M(Y)=0);

4) коэффициент корреляции:

, (3.29)

где – стандарт.

-1 r_xy 1 – характеризует степень тесноты линейной зависимости между с.в. r_xy=1 при Y=aX+b (линейная функциональная стохастическая связь).

При нелинейной функциональной связи r_xy<1. При отсутствии стохастической связи r_xy=0 – необходимое, но недостаточное условие независимости X и Y.

Систему n с.в. можно охарактеризовать n м.о. , n дисперсиями и n(n-1) корреляционными моментами K_XiYj с i  j (при этом K_XiYj=K_XjYi).

4. . Функции случайных величин

Функция с.в. будет также случайной величиной Y=(X). Ее распределение соответствует распределению аргумента, но с измененной шкалой абсцисс. P(y)=Prob(Y<y)=Prob((X)<y).

, (3.30)=(3.6)

где (y) – функция обратная (х) (замена подынтегрального выражения x=(y), dx=(y)dy).

Если Y=(X), где (X) – монотонная функция своего аргумента, то распределение Y определяется тем, что вероятность нахождения y в пределах y₁<Y<y₂ равна вероятности неравенства х₁<X<x₂,

где y₁=(x₁) и y₂=(x₂).

М.о. и дисперсия с.в. Y:

. (3.31)=(3.9) и (3.11)

Пример [7, с. 23]. Стержень нагружен изгибающим моментом M_b и крутящим моментом M_t, и есть их совместная плотность вероятности p_q(M_b,M_t). Кроме того, моменты M_b и M_t стохастически независимы и подчиняются центрированному нормальному распределению:

,

где _b и _t – стандарты M_b и M_t.

Опасное состояние стержня достигается при превышении некоторой функцией этих моментов предельного значения M_r>M_r,lim, зависящего от свойств материала и геометрии сечения стержня. Например, для стержня круглого сечения из пластического материала эта функция может быть взята в виде , где M_r – приведенный момент, определенный в соответствии с критерием текучести, основанном на наибольших касательных напряжениях.

Лекция 4. Понятие надежности сооружения. Резерв прочности. Характеристика безопасности. Коэффициент запаса. Коэффициенты однородности и перегрузки

Необходимый уровень надежности обеспечивается не только расчетными требованиями норм проектирования, а зависит также от методов расчета, принятой конструктивной схемы, вида соединений конструктивных элементов, правил конструирования, плана контрольных испытаний и условий приемки при изготовлении и монтаже.

Изначально до середины 30-х годов прошлого века применялся метод допускаемых напряжений. Он заключался в том, что для любого волокна конструкции должно было выполняться условие:

k S  S_доп,

где S_доп – допускаемое напряжение; S – напряжение в волокне, определяемое методами строительной механики; k – коэффициент запаса.

В этом методе коэффициент запаса для всех конструкций из данного материала был одинаков, что не отвечало фактической работе таких комплексных материалов, какими являются железобетон и каменная кладка, компоненты которых имеют различные механические характеристики и в соответствии с этим в различной степени и с различной быстротой исчерпывают свою несущую способность. Кроме того, работа строительных материалов в конструкциях рассматривалась лишь в упругой стадии, т.е. не учитывались пластические свойства материалов, изменчивость нагрузок и сопротивлений материалов. Поэтому метод допускаемых напряжений модифицировался в метод разрушающих нагрузок.

Расчетное условие этого метода в общем виде следующее:

k F_н < R_н,

где k – коэффициент запаса, зависящий от соотношения нагрузок; F_н – нормативное значение нагрузки; R_н – нормативное значение несущей способности (среднее значение прочности бетона или так называемая гарантируемая прочность стали).

Стала учитываться пластическая работа материала для определенных схем разрушения.

Введение в середине 50-х годов ХХ века метода предельных состояний позволило учесть специфику работы разных конструкций и фактическую изменчивость нагрузок и механических свойств строительных материалов и т.д., т.е. позволило достичь определенного выравнивания надежности отдельных элементов конструкции, составляющих единое целое.

Этот метод опирается на статистическое изучение значений нагрузок, механических свойств материалов и условий работы конструкций и материалов. Общее условие непревышения предельного состояния может быть представлено в виде

(F_p,R_p,_n,_a,_c,с ) 0, (4.1)

здесь F_p – расчетное значение нагрузки;

F_p = F_н_f,

где _f – коэффициент надежности по нагрузке; F_н – нормативное значение нагрузки; R_p – расчетное значение сопротивления материала;

R_p=R_н_m;

R_н – нормативное значение сопротивления материала; _m – коэффициент надежности по материалу; _n – коэффициент надежности по ответственности конструкции; _c – коэффициент условий работы; _a –коэффициент точности; с – постоянные, включающие предварительно выбранные расчетные ограничения, задаваемые для некоторых видов предельных состояний (по прогибам, раскрытию трещин и т.п.).

Условие (4.1) определяет границу области допустимых состояний конструкции. Входящие в это условие факторы можно условно разделить на две группы. Первая группа факторов зависит от свойств самой конструкции, вторая от внешних воздействий. Это разделение возможно из-за отсутствия в большинстве случаев функциональных и корреляционных связей. Тогда условие (4.1) можно представить в виде:

, (4.2)

где с – предельное значение нормируемых параметров (прогиба, угла поворота, раскрытия трещин).

Условие непревышения границы области допустимых состояний конструкций может определяться как

R–F>0,

где с.в. R – обобщенная прочность конструкции (несущая способность);

F – обобщенная нагрузка, или иначе

S = R–F , (4.3)

где F – наибольшее значение усилия (или напряжения) в конструкции, выраженное через внешнюю нагрузку (т.е. задача определения напряженного состояния предполагается решенной);

R – несущая способность, выраженная в тех же единицах, и отвечающая пре-дельному состоянию конструкции по прочности (предел текучести, предел прочности и т.д.); S – резерв прочности.

Резерв прочности

Вероятность неразрушения конструкции или надежность N – это вероятность непревышения случайной величины, характеризующей предельное состояние (4.1). Если кривая распределения этой величины каким-то образом определена, то по интегральной кривой распределения вероятности можно найти квантиль вероятности N того, что реализация случайной величины S будет меньше этого квантиля, отсекая на кривой ординату = N.

Вероятность разрушения конструкции:

,

где p_s(S) – плотность распределения резерва прочности; P_s(0) – значение функции распределения резерва прочности при S=0 (вероятность того, что S  0, т.е. разрушения).

Плотность распределения резерва прочности при взаимонезави-симости R и F:

, (4.4)

где p_r(R) – плотность распределения несущей способности; p_r(S+F) – та же функция, но с аргументом S+F; p_f(F) – плотность распределения внешнего усилия.

При взаимонезависимости R и F

.

Эквивалентная (4.4) формула

, (4.5)

где p_f(R–S) – плотность распределения усилия, но с аргументом (R–S).

В случае, когда R и F зависимы, (4.4) и (4.5), соответственно, запишутся в виде

(4.6)

и

, (4.7)

где p(R,F) – функция совместной плотности распределения R и F; p(S+F,F) и p(R,R–S) – то же, но с аргументами S+F и R–S.