Доверительный интервал для дисперсии при известном математическом ожидании

Пусть   – выборка наблюдений из нормальной генеральной совокупности. Найдем доверительный интервал для дисперсии   нормально распределенного признака Х с известным математическим ожиданием  . Поскольку значение математического ожидания известно, то в качестве оценки величины   возьмем точечную оценку дисперсии  , которую будем рассматривать как случайную величину, зависящую от случайной выборки. Тогда величина   является суммой квадратов значений  . Эти величины имеют стандартное нормальное распределение с параметрами (0,1), а сумма   имеет   (хи-квадрат) распределение Пирсона с   степенями свободы. Плотность случайной величины, распределенной по закону  , имеет вид

  ,

где   – число степеней свободы. Пользуясь плотностью  –распределения найдем интервал, в который значения   попадают с надежностью  . Обозначим этот интервал  . Поскольку распре-деление   не является симметричным, то чтобы получить симметричный относительно параметра интервал, значения   и   выберем так, чтобы вероятности попадания значений   левее   и правее   были одинаково равными  . Тогда  . Числа   и  можно отыскать по специальной таблице критических точек распределения  , исходя из того, что  ,  . После того, как числа   и   выбраны, возможно определить доверительный интервал для дисперсии  .

Так как  , то неравенство   преобразуется к неравенству   или, в эквивалентном виде,  . Это двойное неравенство означает, что доверительным интервалом для   с надежностью   является промежуток  .

 

Замечание. Таблицы критических точек   и   распределения   содержат два параметра: уровень значимости  , определяемый значениями   и  , а также число степеней свободы  , равное объему выборки . Критические значения в таблицах чаще всего обозначаются  . Приведем для справки команды, с помощью которых можно получить   при разных значениях   и  , в таких программах как EXCEL, MATHCAD,MAPLE.

 

MAPLE	;
MATHCAD
EXCEL

 

Доверительный интервал для дисперсии при неизвестном математическом ожидании

Найдем доверительный интервал для дисперсии   нормально распределенного признака Х с неизвестным математическим ожиданием.  При выводе интервальной оценки, в случае известного математического ожидания, мы пользовались величиной  . Теперь это значение использовать нельзя, поэтому в качестве несмещенной оценки дисперсии будем использовать исправленную выборочную дисперсию  .  Случайная величина    имеет распределение Пирсона    с    степенями свободы.  Выберем близкую к единице вероятность   и найдем интервал, в который попадает неизвестный параметр с надежностью  . Для этого повторим рассуждения предыдущего раздела и получим, что оцениваемое значение дисперсии   с надежностью   покрывается доверительным интервалом  .

 

Доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально. Требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратичное отклонение   по исправленному среднему квадратичному отклонению  . Для этого найдем доверительный интервал, покрывающий неизвестный параметр   с надежностью  . В сущности, задача повторяет предыдущий раздел, но сейчас мы немного изменим обозначения для упрощения записи результата. Выражение для доверительной вероятности имеет вид  , где   – абсолютная погрешность оценивания. Неравенство   или равносильное ему неравенство   преобразуем к виду  . Обозначим   и, поскольку абсолютную погрешность оценивания мы выбираем достаточно малой, можно считать, что . Перепишем неравенство в виде  , домножим на  , получим  . Из предыдущего раздела известно, что случайная величина   имеет распределение Пирсона   с   степенями свободы. Поэтому переменную   можно выразить через значения критических точек   и   распределения Пирсона и записать эти значения в таблицу (в приложении значения параметра   приведены в табл. 3, приложение). Вычислив по выборке значение   и найдя по таблице  , получим искомый доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения, покрывающий параметр   с заданной надежностью  :  .

Замечание. В случаях, когда оценивается математическое ожидание при неизвестной дисперсии или дисперсия при неизвестном математическом ожидании, получающиеся при этом доверительные интервалы оказываются длиннее тех, что получены, когда, соответственно, дисперсия или математическое ожидание были известны. Это обстоятельство объясняется тем, что наличие дополнительной информации позволяет сузить пределы, в которые можно заключить оцениваемый параметр при заданной надежности.

 

Задача 4. В условиях задачи 3 найти доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения   с надежностью  .

Решение задачи 4. Для удобства вычислений и наглядности еще раз представим таблицу значений.

 

Частичные интервалы	(5;10)	(10;15)	(15;20)	(20;25)	(25;30)
Частоты	1	5	8	4	2
	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5

 

Объем выборки:   = 20, среднее выборочное значение  , выборочная дисперсия  , исправленная дисперсия  , исправленное выборочное среднее квадратичное отклонение  . Доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения определяется неравенством  . По заданной надежности   = 0,95 и объему выборки   = 20 найдем, с помощью табл. 3 (приложение), параметр  :  .  Доверитель-ный интервал для среднего квадратичного откло-нения   или  .  Таким образом, интервал   покрывает параметр   с надежностью   = 0,95.