Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии

Во многих случаях предположение о нормальном распределении случайной величины   становится приемлемым при   и вполне хорошо оправдывается при  . Оценка   вполне пригодна для применения вместо  .  Но не так обстоит дело с дисперсией. Правомочность ее замены на выборочную дисперсию   не обоснована даже в указанных случаях. При небольшом объеме выборки,  , закон распределения оценки дисперсии принимать за нормальный неоправданно. Ее распределение следует аппроксимировать распределением хи-квадрат как суммы квадратов центрированных величин (хи-квадрат распределение сходится к нормальному при количестве слагаемых, превышающем 30). Но это утверждение обосновано только тогда, когда случайная величина Х распределена нормально.

Рассмотрим случайные величины   (исправленную выборочную дисперсию – несмещенную оценку дисперсии  ) и   . Тогда случайная величина   имеет распределение Стьюдента с   степенями свободы. Функция плотности распределения этой случайной величины имеет вид  .  Распределение Стьюдента симметричное, поэтому полученное соотношение между точностью, надежностью оценки и объемом выборки сохраняется. Выберем число   так, чтобы выполнялось нера-венство   . Из определения функции плотности распределения Стьюдента, значения границ интервала для параметра   можно записать как решение интегрального уравнения:

Решение этого интегрального уравнения обозначается   и приводится в статистических таблицах.  В данном пособии значения этой величины приведены в приложении, табл. 2. Кроме того, значе-ния   при различных   и   можно получить, используя программы EXCEL, MATHCAD, MAPLE. Соответствующие команды даны в таблице.

 

MAPLE
MATHCAD
EXCEL

Приведем неравенство   к эквивалентному виду   , или  . Это неравенство задает доверительный интервал для математического ожидания   с надежностью  :

.

Заметим, что полученный доверительный интервал похож на тот, что был получен при условии известной дисперсии:  . Разница состоит в том, что неизвестное значение   заменяется во втором случае его выборочной оценкой  , а числа   находятся из распределения Стьюдента, вместо чисел  , которые находятся из нормального распределения. Кроме того, при больших объемах выборки   можно считать, что, практически,  , а  . В этом случае можно пользоваться формулами нормального распределения.

 

Задача 2. В условиях задачи 1 найти доверительный интервал для математического ожидания с надежностью  , если дисперсия неизвестна.

 Решение задачи 2.  Для удобства вычислений и наглядности еще раз представим таблицу значений.

 

Частичные интервалы	(10;20)	(20;30)	(30;40)	(40;50)
Частоты	10	45	30	15
	15	25	35	45

 

Объем выборки составляет   = 100. Среднее выборочное значение   = 30.  Вычислим дисперсию   и исправленную дисперсию  .  Поскольку  ,  то  , а исправленная дисперсия   =   ,  . Объем заданной выборки доста-точно большой,  . Поэтому можно использовать как распределение Стьюдента, так и нормальное распределение. Рассмотрим оба варианта.

Вариант 1 (нормальный закон распределения). Будем полагать, что  , а  . По заданной надежности   найдем, с помощью табл. 1 (приложение), параметр  :  , откуда  ,    .  Получим доверительный интервал для математического ожида-ния _.

Проведем вычисления и окончательно запишем, что  .  Таким образом, интервал   покрывает пара-метр   с надежностью   = 0,95 при неизвестной дисперсии.

Вариант 2 (закон распределения Стьюдента). По заданной надежности   = 0,95 найдем, с помощью табл. 2 (приложение), параметр  :  .  Запишем доверительный интервал для математического ожидания

.

Проведем вычисления и окончательно получим, что  .  Таким образом, интервал   покрывает пара-метр   с надежностью   при неизвестной дисперсии.

Можно заметить, что если значение   близко к  , то доверительный интервал, полученный с применением закона распределения Стьюдента, будет более широким, чем доверительный интервал, полученный с применением формул нормального распределения, так как  . Это объясняется тем, что распределение Стьюдента применяется при выборках малых объемов, содержащих недостаточный объем информации.

Задача 3. По данным наблюдений случайной величины  , распределенной нормально, найти доверительный интервал для математического ожидания   с надежностью  . Выборка представлена таблицей.

  

Частичные интервалы	(5;10)	(10;15)	(15;20)	(20;25)	(25;30)
Частоты	1	5	8	4	2
	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5

 

Решение задачи 3. Найдем объем выборки:  . Поскольку объем выборки невелик, то применение нормального закона распределения приведет к неоправданному сужению доверительного интервала, поэтому используем формулы, полученные для распределения Стьюдента. Вычислим необходимые параметры:  

,

,

,

,  .

По заданной надежности   = 0,95 найдем, с помощью табл. 2 (приложение), параметр  :  .  Доверитель-ный интервал для математического ожидания

 

или  . Таким образом, интервал   покрывает параметр   с надежностью   = 0,95 при неизвестной дисперсии.