Определение средней долговечности при действии циклических напряжений со случайными амплитудами

Пусть процесс состоит из случайных симметричных циклов нагружений, характеризующихся максимальными напряжениями S в каждом. Используя гипотезу суммирования усталостных повреждений и уравнения кривых усталости N = N(S) при однородном режиме напряжений, когда известны эффективные периоды изменения напряжений и плотности вероятности максимальных значений процесса S(t), то средняя долговечность может быть определена по формуле Болотина В.В. [5]:

(21.11)

Таблица (21.1)

Для некоторых других представлений N = N(S) и процессов S(t) в таблице 21.1 (3) работы [5] приводятся формулы вычисления средней долговечности. В этих формулах Г(х) – гамма-функция, - функция - распределения Пирсона, протабулированная в различныхработах по курсу теории вероятности. Эффективный период выражают через спектральную плотность Ф(ω) процесса S(t) согласно формуле:

(21.12)

Строго говоря, эти формулы справедливы только для узкополосных стационарных эргодических случайных процессов. Для широкополосных случайных процессов они дают оценку снизу. В работе [10] даются формулы для нестационарных широкополосных случайных процессов. Вычисленная по этим формулам средняя долговечность является условной в том смысле, что она найдена при фиксированных характеристиках прочности. Учет разброса характеристик прочности рассмотрим в следующей лекции.

Узкополосный случайный процесс

Узкополосным называется случайный процесс, спектральная плотность которого существенно отлична от нуля лишь в пределах узкой полосы частот, сосредоточенной вблизи некоторой центральной частоты.

Широкополосный случайный процесс

Широкополосным называется случайный процесс, спектральная плотность которого существенно отлична от нуля в пределах широкой полосы частот относительно некоторой центральной частоты.

Стационарный процесс

Стационарный случайный процесс есть ансамбль реализаций, статистические свойства которого инвариантны по отношению к переносу начала отсчета времени. Стационарный процесс может быть эргодическим или неэргодическим

Эргодический случайный процесс

Эргодическим называется случайный стационарный процесс, для которого результаты усреднения по времени в пределах отдельной реализации одинаковы для всех реализаций. Таким образом, усреднение по времени для любой отдельной реализации эквивалентно соответствующему усреднению по ансамблю реализаций.

Эргодичность случайного процесса

http://stu.alnam.ru/book_in_stat1-25

Эргодичность — специальное свойство изменяющейся (динамической) системы, состоящее в том, что в процессе эволюции системы почти каждая точка её с определённой правильностью проходит вблизи любой другой точки системы. Иными словами, система «забывает» своё начальное состояние и ведёт себя хаотически.

Преимущество эргодических динамических систем в том, что при достаточном времени наблюдения такие системы можно описывать статистическими методами. С другой стороны, долгосрочное предсказание эргодических систем невозможно — небольшая ошибка измерений приведёт к серьёзному расхождению реальной траектории с предсказанной.

Эргодическая теория — один из разделов общей динамики.

Свойство эргодичности, о котором далее пойдет речь, важно потому, что при его наличии имеют место чрезвычайно существенные соотношения между функцией распределения  и временем пребывания случайной функции  ξ(t)  в определенном интервале значений, между статистическими средними и средними по времени.

Функции распределения, согласно «аксиоме измерения» вероятности, имеют статистический смысл. Это относительные частоты в ансамбле одинаковых систем, т. е. систем, в каждой из которых воспроизведены одни и те же условия протекания данного случайного процесса и одни и те же способы его регистрации или наблюдения. Если, например, речь идет о флуктуациях, то одинаковыми должны быть макроскопические характеристики всех систем, составляющих ансамбль. Имея ансамбль систем, мы располагаем обширным набором реализаций рассматриваемой случайной функции ξ(t) и с помощью соответствующих вероятностей, т. е. распределений систем ансамбля по возможным значениям ξ(t) можем находить м.о. ξ(t), φ(t1.t2) и т. д.

Теоретики любят оперировать с ансамблями, но у экспериментаторов обычно одна лаборатория и одна установка, а не1e6 или 1e9. За данный промежуток времени (0 -T) экспериментатор может получить лишь одну реализацию интересующего его случайного процесса и предпочитает поэтому усреднять по времени, пользуясь одной реализацией  ξ(t) одной осциллограммой или аналогичным образцом. Спрашивается, в каком соотношении находятся эти способы усреднения — по времени и по ансамблю?

Забегая вперед, укажем уже теперь, что для стационарных процессов, обладающих свойством эргодичности, оба способа усреднения при достаточно больших Т практически совпадают, так как в этом случае стационарная вероятность состояния равна относительному времени пребывания системы в данном состоянии. Соответственно среднее статистическое равно среднему по достаточно большому промежутку времени. Говоря «равно» или «совпадает», мы, конечно, допускаем неточность, так как речь идет лишь о вероятностной сходимости — по вероятности, в среднем квадратичном или почти наверное.

Эти утверждения более точно сформулированы и доказаны в ряде работ.

(21.13)

где рT(x) дается формулой «эффективной» плотности вероятности

(21.14)

Первый интеграл в (21.13) это эмпирическая величина, получаемая в результате определенной обработки осциллограммы  f[ξ(t)] в интервале (0 – T). Вместе с тем это случайная величина, различная для разных реализаций ξ(t)

в интервале (0 – T), а  ω1(t,x) - одномерная и плотность вероятностей ξ(t).

Можно сказать, что это закон больших чисел в применении к непрерывному наблюдению.

Рис. 21.1

Докажем теперь, что при условии того, что имела место сходимость в среднем квадратичном, относительное время пребывания ξ(t) в промежутке (x,x+dx) сходится по вероятности при T→ ∞ к p∞(x)dx, где

(21.15)

если, конечно, этот предел  существует. Относительным временем пребывания называется отношение суммарного времени T(x,x+dx) , проведенного ξ(t) в промежутке (x.x+dx), т. е. суммы всех отмеченных на рис. 9 жирной линией отрезков оси абсцисс от момента 0 до момента Т, к полной продолжительности интервала Т.

Теорема же (21.13) принимает теперь вид

(21.16)

Все сказанное справедливо для случайного процесса f[ξ(t)],  удовлетворяющего условию сходимости в среднем квадратичном - так называемому условию эргодичности этого процесса. Необходимое и достаточное условие сходимости в среднем квадратичном можно заменить более сильными требованиями — достаточными условиями эргодичности, которые в приложениях теории большей частью оказываются выполненными. Например, условие сходимости в среднем квадратичном будет удовлетворено, если функция корреляции  всюду ограничена и при всяком t убывает с увеличением ∆t.

Лекции 22,23 Методы вычисления надежности и коэффициентов запаса. Выбор нормативного коэффициента запаса. Коэффициенты запаса в практических расчетах.