Спектральные плотности случайных процессов

При исследовании стационарных случайных процессов  удобно пользоваться еще одной характеристикой стационарного случайного процесса, называемой спектральной плотностью. Во многих случаях, особенно при исследовании динамики сооружений, спектральная плотность оказывается более удобной характеристикой, чем корреляционная функция. Спектральная плотность Ṡx(ω) случайного процесса X(t) определяется как преобразование Фурье для корреляционных функций Rx(τ), т. е.

(21.1)

Если воспользоваться формулой Эйлера  , то это можно представить как

(21.2)

Так как  - нечетная функция τ, то в последнем выражении второй интеграл равен нулю. Учитывая, что  - четная функция τ, получаем

(21.3)

Так как cosωτ = - cosωτ , то следует, что

(21.4)

Таким образом, спектральная плотность   является действительной и четной функцией частоты ω. Поэтому на графике спектральная плотность всегда симметрична относительно оси ординат.

Если спектральная плотность известна, то по формуле обратного преобразования Фурье можно найти соответствующую ей корреляционную функцию:

(21.5)

Используя это выражение и первое свойство корреляционных функций, можно установить важную зависимость между дисперсией Dx и спектральной плотностью   случайного процесса:

(21.6)

Следовательно, физический смысл спектральной плотности состоит в том, что она характеризует распределение амплитуд того или иного параметра случайного процесса по частотному спектру.

Спектральная плотность может быть найдена экспериментально через среднюю величину квадрата амплитуды гармоник реализации случайного процесса. Приборы, применяемые для этой цели и состоящие из анализатора спектра и вычислителя среднего значения квадрата амплитуды гармоник, называются спектрометрами. Экспериментально находить спектральную плотность сложнее, чем корреляционную функцию, поэтому на практике чаще всего спектральную плотность вычисляют по известной корреляционной функции с помощью формул, приведенных выше.

Взаимная спектральная плотность   двух стационарных случайных процессов X(t) и G(t) определяется как преобразование Фурье от взаимной корреляционной функции   т. е.

(21.7)

По взаимной спектральной плотности можно, применяя обратное преобразование Фурье, найти выражение для взаимной корреляционной функции:

(21.8)

Взаимная спектральная плотность   является мерой статистической связи между двумя стационарными случайными процессами:  X(t) и G(t).  Если процессы  X(t) и G(t)  некоррелированы и имеют равные нулю средние значения, то взаимная спектральная плотность равна нулю, т. е.

(21.9)

В отличие от спектральной плотности   взаимная спектральная плотность   не является четной функцией ω и представляет собой не вещественную, а комплексную функцию.

Иногда в рассмотрение вводят нормированную

спектральную плотность  , являющуюся изображением Фурье нормированной корреляционной функции :

(21.10)

Нормированная спектральная плотность имеет размерность времени.