Тема 5: Задачи и вероятностные методы их решения на основе статистического моделирования случайных величин и случайных процессов

Лекция 18. Определение статистических характеристик прочности.

Статистические запасы прочности

Предельное (разрушающее) и действующие напряжения в опасной точке детали можно рассматривать как случайные величины.

Тогда запас прочности конкретной детали представляет величину случайную:

(18.1)

Если F(n) — функция распределения запасов прочности, то величина запаса прочности, соответствующая уровню значимости q удовлетворяет условию

(18.2)

В большинстве практических задач параметры функции распределения «восстанавливаются» по выборкам ограниченного объема с определенной доверительной вероятностью. В связи с этим и запас прочности зависит от принятого значения доверительной вероятности

Например, запись

означает, что только  у 1%  всех изделий запас прочности может оказаться меньше 2, причем это утверждение справедливо, по крайней мере, для 95% случаев испытаний. С математической точки зрения это равенство имеет следующий смысл:

(18.3)

Приближенный метод определения статистического запаса прочности.

В практических расчетах запас прочности

(18.4)

Используют нижние значения для пределов прочности и пределов выносливости по справочным данным или механическим испытаниям.

При определении максимального напряжения в опасной точке детали σmax учитывают наиболее неблагоприятные условия нагружения и другие факторы, приводящие к возрастанию напряжений. Однако достоверность оценки  σразр   и σmax не указывается, что затрудняет сопоставление надежности по запасу прочности.

Наиболее простой и практически пригодный метод определения

статистических запасов прочности состоит в следующем. Минимальные характеристики прочности и максимальные значения напряжении устанавливают в соответствии с нормированным уровнем значимости и доверительной вероятности:

(18.5)

где  qη , qξ , и Pдη , Pдξ, — уровни значимости и доверительные вероятности, с которыми определяют (экспериментально) разрушающее напряжение и максимальное действующее напряжение. В практических расчетах можно принять приближенные соотношения:

(18.6)

Статистические запасы прочности, как и обычные запасы прочности, имеют условное значение. Они служат критериями сравнения надежности вновь создаваемых изделий с изделиями, удовлетворительно работающими в эксплуатации. Основное преимущество статистического запаса прочности по сравнению с обычными (детерминистскими) запасами состоит в том, что сопоставление приводится к одинаковым условиям (по объему используемой информации) по рассеянию механических свойств материала и действующих напряжений.

Если разрушающее и действующее напряжения распределены по нормальному закону, то можно принять

(18.7)

где ηn1- среднее значение  σразр: n1 — число испытаний (объем выборки), на основании которого определено значение Sηn1 — среднее квадратическое отклонение для выборки объема  n1 ; ξn2 и  Sξn2 — среднее значение и среднее квадратическое отклонение, полученное для действующею напряжения в опасной точке при n2 испытаниях [см. формулы (17.28, 17.28a) и Kη , Kξ  — односторонние толерантные коэффициенты.

Экспериментальное исследование действующих напряжений путем тензометрирования часто применяют при определении переменных напряжений (валы, лопатки и т. п.). В других случаях изучают экспериментально условия нагружения (усилия, температуры и др.), оценивают вероятность появления максимальных нагрузок и т. п.

Пример. Требуется определить (при уровне значимости q = 0,01 и доверительной вероятности Pд  = 0,99) запас прочности элемента конструкции, для которой среднее значение предела выносливости, полученное в шести испытаниях n1  составило σ-1 = ηn1 = 420 МПа, а среднее квадратическое отклонение Sηn1 =  20 МПа. Среднее значение переменных напряжений при тензометрировании 10 элементов  n2 дало М.О. σа  = ξn2 = 60 МПа, а среднее квадратическое отклонение  Sξn2 = 15  МПа.

Решение. Минимальное значение предела выносливости

(18.8)

При   n1 = 6, q = 0,01, и Pд  = 0,99 по таблице 1 значений толерантных коэффициентов находим

и тогда

Максимальное значение переменных напряжений

(18.9)

При  n2 = 10, q = 0,01, и Pд  = 0,99 по таблице значений толерантных коэффициентов находим

и

Запас прочности

Значения вероятности разрушения  Рразр в зависимости от запаса прочности по средним значениям напряжений (см. Скан таблицы 1 на стр. 571 lib.alnam.ru/book_rdm.php?id=194)

Таблица 1

Нормальный закон распределения повышает опасность больших отклонений и часто более целесообразно использовать усеченные распределения.

Учитывая, что вероятностные расчеты носят сравнительный характер, рекомендуется для единообразия использовать приближенные толерантные коэффициенты.

Рассмотрим теперь случай, когда статистические характеристики напряжений  считают известными. Это означает, что случайные величины  признают достоверными на основании предыдущего опыта или большого числа исследований. Тогда статистический запас будет зависеть только от уровня значимости.

При нормальном распределении будем иметь

(18.10)

где u1-q — односторонний квантиль доверительной вероятности

Величина

представляет собой запас по средним значениям.

Коэффициенты вариации

Значения  u1-q  для некоторых значений уровня значимости будут следующими:

Связь запасов прочности в вероятности разрушения. Вероятность разрушения определяют по формуле

(18.11)

где υζ — коэффициент вариации функции неразрушения,

(18.12)

Разделив числитель и знаменатель последнего соотношения на ξ получим

(18.13)

где υζ  и υη — коэффициенты вариации действующих и разрушающих нанряжеиий; n — запас по средним значениям. Теперь равенство (18.11) можно записать так:

(18.14)

Из этого соотношения следует, что вероятность разрушения определяется запасом прочности посредним значениям разрушающих и действующих напряжений и коэффициентами их вариаций.

Связь вероятности разрушения и запасов прочности показана в табл. 1.

Запасы по средним значениям больше практически применяемых запасов прочности, при определении которых используют наименьшие значения разрушающих напряжений и наибольшие значения действующих напряжений.

Лекция 19. Определение статистических характеристик внешних нагрузок.

Внешние нагрузки в процессе эксплуатации сооружений, как правило, представляют собой не просто случайные величины, но и случайные процессы. Для корректного учета изменяемости нагрузок в исследованиях прочности необходимо статистическое описание их характеристик, позволяющее с достаточной достоверностью решать задачи статики, динамики и устойчивости, и применение методов теории вероятности и теории случайных процессов.

В зависимости от сложности решаемых задач и необходимой точности их решения возможны эмпирические исследования для определения вероятности отказа, когда это связано с превышением некоторого заданного уровня параметра нагрузки S(t) хотя бы один раз в течение интервала времени Т, равного назначенному сроку службы. В этом случае допустимо рассматривать отказ в рамках элементарной теории вероятности. Для этого необходимо знать плотность распределения вероятности p(S/T) максимальных значений параметра нагрузки S(t) в пределах различных интервалов времени наблюдения Т (Т1 < Т2 < Т3) (рис.19.1.) .

Рис. 19.1. Изменение плотности распределения вероятности p(S/T) для максимальных значений нагрузки с увеличением времени наблюдения Т.

Существенно, что распределения зависят от продолжительности наблюдений. Если разбить время Т на m равных достаточно больших интервалов ∆Т, чтобы корреляция максимумов для двух соседних интервалов была пренебрежимо малой, можно абсолютные максимумы для каждого интервала ∆Т приближенно рассматривать как случайные величины в последовательности независимых испытаний. Тогда плотность вероятности p(S/T) определится по формуле [7]:

(19.1)

где F(S│∆T) – функция распределения вероятности для максимумов на базе наблюдения, равной ∆ Т.

Рассмотренный выше подход определения статистических характеристик внешнего нагружения предполагает квазистатическое приложение нагрузок и поэтому максимальные значения параметра нагрузки в заданном интервале времени можно считать случайными величинами.

Если параметр нагрузки описывает динамический процесс, то его следует трактовать как случайный процесс с множеством реализаций, каждое из которых характеризуется различным распределением во времени (рис. 19.2.).

Вероятностный анализ распределений и осреднение будет, естественно , зависеть для случайных процессов от интервалов t1 - t2 , t1 - t3 и т. д.

Рис. 19.2. Нагрузка как случайный процесс (эргодический)

Для стационарных случайных процессов при Т→ ∞ для каждой реализации характеристики математического ожидания, дисперсии и корреляционных функций при замене интегралов конечными суммами можно получить эмпирически или путем моделирования с необходимой точностью выбирая продолжительность реализации Т [7].

В широком, хотя и не особенно точном понимании, случайным процессом  ξ(t) является любой протекающий во времени процесс, управляемый вероятностными законами. Более определенно: случайная функция  ξ(t) — это такая функция, значение которой при любом возможном t есть случайная величина.

В математической теории нет никаких оснований к тому, чтобы придавать аргументу t какую-либо определенную интерпретацию.

Принято называть  ξ(t) случайным (или стохастическим, или вероятностным) процессом, если t меняется непрерывно, и  случайной  последовательностью  (процессом с дискретным параметром, с дискретным временем), если t принимает счетное множество значений. Термин «случайная функция» охватывает оба эти случая, т. е. применяется тогда, когда характер изменения t произволен.

В свою очередь множество возможных значений х самой случайной функции  ξ(t) тоже может быть как непрерывным, так и дискретным. Таким образом, имеются четыре разновидности случайной функции в соответствии с четырьмя комбинациями дискретности и непрерывности х и t. Иногда все эти разновидности называют случайными процессами, говоря о дискретном или непрерывном процессе (в зависимости от характера х) с дискретным или непрерывным временем t. Разумеется, возможны и смешанные — дискретно-непрерывные — процессы, но изучать удобней каждый из этих видов в отдельности

Если аргумент t принимает конечное множество значений t1,   t2,  t3,……..  tn, то случайная последовательность сводится, очевидно, к совокупности n случайных величин  ξ(t1),   ξ(t2),  ξ(t3),………  ξ(tn), т. е. может быть интерпретирована как n-мерная случайная величина, задаваемая, как обычно, своим n-мерным распределением вероятности ω(x1, x2 , ……xn ). Если же множество значений t бесконечно (счетно или непрерывно), то мы выходим за рамки классической теории вероятностей и необходимо специально определить, как в этом случае надо понимать задание случайной функции ξ(t).

Беря за исходный пункт множество всех возможных реализаций случайной функции, можно получить исчерпывающую ее характеристику заданием распределения вероятностей этих реализаций. Равносильный, но по форме отличный подход, принадлежащий Е. Е. Слуцкому, опирается на то, что ξ(t) при каждом фиксированном значении t есть случайная величина. Эта величина полностью задана, если известно ее распределение

(19.3)

т. е. известна мгновенная плотность вероятности ω1 (t,x) вообще говоря, зависящая от t. Разумеется, вместо ω1 (t,x) можно задать соответствующую  характеристическую функцию

(19.4)