Доверительные пределы для вероятности разрушения.

При расчете вероятности разрушения по формуле (17.8) предполагают, что статистические характеристики пределов выносливости М.О. и стандарт η  и действующих напряжений ξ относятся к генеральной совокупности (выборке бесконечно больших размеров).

В действительности указанные величины определяют по выборке (объему испытаний), содержащей конечное число образцов.

Если при определении действующих напряжений использованы результаты n1 испытаний, то

(17.28)

Соответственно для пределов прочности (n2 — число испытаний)

(17.28а)

Оценим приближенно наибольшее значение вероятности разрушения.

Очевидно, что оно реализуется при минимальной разности средних значений и максимальном значении Sζ

Будем использовать с доверительной вероятностью Рд следующие односторонние оценки (здесь t - коэффициент безопасности Стьюдента и Ksmax указаны, например, в работе [8]):

Значения вероятности разрушения  Рразр в зависимости от запаса прочности по средним значениям напряжений (см. Скан таблицы 1 на стр. 571 lib.alnam.ru/book_rdm.php?id=194)

(17.29)

Тогда из равенства (17.8) получим приближенную оценку

(17.30)

Для расчета может быть использовано и равенство (17.13).  Доверительную вероятность для приближенной оценки можно приближенно принять равной Рд .

Пример. Определить вероятность разрушения элемента конструкции, если известно, что среднее значение переменных напряжений ξ = 100 МПа  и среднее квадратическое отклонение Sξ  = 20 МПа (по данным тензометрирования); среднее значение предела выносливости η = 200 МПа  и среднее квадратическое отклонение Sη  = 30 МПа (по данным испытаний на выносливость).

Решение. Находим по формулам

Вероятность разрушения по формуле (17.8)

По таблице значений функции Лапласа

По приближенной формуле (17.13)

Значения вероятности разрушения, вычисленные по средним значениям и с учетом рассеяния экспериментальных данных, существенно расходятся между собой. В практических расчетах следует указывать, при каких условиях получено расчетное значение вероятности разрушения.

Вероятность разрушения как характеристика прочностной надежности правильно отражает качественные особенности задачи: она возрастает при уменьшении запаса прочности и увеличении рассеяния нагрузок и механических свойств материалов. Однако ее использование как нормативной характеристики для определения отказов ответственных конструкций (разрушений с тяжелыми последствиями) ограничено:

а) значение вероятности разрушения зависит от «хвостов» распределений, которые даже по выборкам большого объема (n>100)  определяются весьма неточно (погрешность может составлять несколько порядков). В связи с этим расчетная вероятность разрушения носит условный характер. Реальный смысл имеет только сравнение элементов выполненных и вновь проектируемых конструкций, проводимое в сопоставимых условиях;

б) при расчете допускается возможность аварии (катастрофы), это создает затруднения психологического характера.

Рассмотренная статистическая модель пригодна для отказов с ограниченными последствиями, для которых допустимо использование вероятностей разрушения  Рразр > 1e-3.

Более обоснованно использование в качестве нормативных характеристик, особенно для прочностных отказов с тяжелыми последствиями, статистических запасов прочности.