Вероятность разрушения

Рассмотрим оценку вероятности разрушения на примере.

Переменные напряжения в элементе конструкции, возникающие при резонансных колебаниях, обозначим  σa.  Их определяют с помощью тензометрирования в рабочих условиях в местах наибольших напряжений. Величинам  σa свойственно значительное рассеяние, связанное с неравномерностью нагрузок, условиями демпфирования и т. п. Величину  σa сопоставляют с пределом выносливости элемента  σ-1л который также имеет  разброс вследствие отклонений в технологии изготовления и рассеяния механических свойств материала. Предел выносливости соответствует определенному числу нагружений (обычно 1е7 циклов). Если в данном элементе переменное напряжение больше предела выносливости

(17.5)

то наступает разрушение.

Рассматриваем  σa и  σ-1л  как случайные величины.  На рис. 17.1 показаны кривые  плотности распределения  переменных напряжений и пределов выносливости. Их строят на основании экспериментальных данных по гистограмме распределения.

Допустим, что величины  σa и  σ-1л, , которые для краткости обозначим соответственно η и ξ  имеют нормальное

Рис. 17.1. Кривые плотности распределения переменных напряжений  σa  и пределов выносливости   σ-1л

распределение. Тогда и разность этих величин (функция неразрушения)

(17.6)

распределена нормально, причем параметры распределения М.О. — среднее значение и среднее квадратическое отклонение (стандарт) соответственно: 

(17.7)

Вероятность разрушения равна вероятности условия  ζ<0  (рис. 17.2).

Входящий в последнее равенство  корреляционный момент  Kξη для  независимых случайных величин обращается в нуль. Так как предел выносливости и действующее в элементе переменное напряжение практически независимы, то

(17.8)

где  F(ζ) — функция распределения случайной величины  ζ

(17.9)

где  Ф(х) - функция Лапласа.

Рис. 17.2. Распределение функции неразрушения

Из равенства (17.8) вытекает формула для вероятности разрушения

(17.10)

или

(17.11)

где υζ — коэффициент вариации функции неразрушения,

(17.12)

Если воспользоваться приближенным представлением функции Лапласа 

, (17.13)

то погрешность оказывается не выше последнего использованного при вычислениях члена ряда.

Вероятность разрушения при произвольных законах распределения напряжений и пределов прочности

В этом случае вероятность разрушения может быть определена из следующих соображений.

Пусть имеется переменное напряжение σа = ξ Вероятность того, что предел выносливости σ-1л = η окажется меньше данной величины ξ (наступит разрушение), будет

(17.14)

где Fη (ξ)  функция распределения случайной величины η,

(17.15)

Для нахождения вероятности разрушения следует учесть все возможные значения ξ (все несовместимые пути реализации события) и по формуле полной вероятности

(17.16)

Подобным образом находим равнозначное условие

(17.17)

Нахождение вероятности разрушения теперь сведено к вычислению интеграла (17.16) или (17.17).

В общем случае запас прочности может быть представлен в виде

(17.18)

где σэкв — эквивалентное напряжение.

Например, при одновременном действии нормальных а и касательных  напряжений

(17.19)

Для длительной прочности при нестационарном режиме нагружения функция неразрушения зависит от общего времени работы t

(17.20)

Для длительной статической прочности или сопротивления усталости справедлив степенной закон связи σдл  и времени (числа циклов) до разрушения

(17.21)

Где m и  C — постоянные материала, зависящие от температуры.

Если действующее напряжение в момент времени

(17.22)

где σ0 — случайная величина,  f(t*) — детерминированная функция времени, то при линейном законе суммирования повреждений

(17.23)

Для сопротивления усталости при нестационарном нагружении функция неразрушения от общего числа циклов нагружения

(17.24)

В каждый момент нагружения действующее напряжение

(17.25)

Учитывая зависимости типа (17.21)

(17.21а)

получим

(17.26)

Для расчета должны быть известны среднее значение и среднее квадратическое отклонение пределов прочности и эквивалентного напряжения, причем

(17.27)

При нормальном распределении указанных величин используют соотношение (17.8).  Вероятность разрушения зависит в рассматриваемом случае от времени работы.