Основное уравнение теории надежности
Это уравнение связывает вероятность безотказной работы с интенсивностью отказов.
Из уравнений (14.10) и (14.15) получаем
(14.18)
или
(14.19)
Интегрируя обе части равенства от 0 до t, находим
(14.20)
Предполагая, что в начальный момент времени t = 0 изделие находится в исправном состоянии
получаем из равенства (14.20)
(14.21)
Уравнение (14.21) является основным уравнением теории надежности, так как позволяет по протеканию интенсивности отказов определять вероятность безотказной работы.
Лекция 15. Задачи теории надежности. Определение надежности системы по надежности ее элементов.
Общая закономерность изменения интенсивности отказов по времени наработки
Практически установлено, что изменение интенсивности отказов по времени для большинства сложных систем (машин, узлов) носит характер кривой, показанной на рис. 15.1. Период приработки I характеризуется повышенным значением интенсивности отказов; при нормальной эксплуатации II интенсивность отказов уменьшается и изменяется сравнительно мало, отказы носят внезапный, случайный характер. В периоде усиленного изнашивания III интенсивность отказов снова резко возрастает. Поэтому перед эксплуатацией сложной системы целесообразно проводить кратковременные сдаточные испытания, отсеивающие дефекты приработки. Система, удовлетворительно прошедшая начальный период, более надежна, чем система, находящаяся в начальном периоде. Замена старых узлов (деталей) новыми целесообразна только в период III. При профилактической замене деталей на новые в периоде II надежность конструкции не возрастает, а уменьшается. Ресурс изделия следует назначать в начале третьего периода (периода изнашивания и старения).
Рис. 15.1. Зависимость интенсивности отказов от времени наработки
Прогнозируемая вероятность безотказной работы
Пусть известно, что система проработала без отказа время t. Какова вероятность безотказной работы в следующий период τ.
Если случайная величина — время работы до отказа t*, то
(15.1)
P(t) можно рассматривать как начальную (априорную) прогнозируемую вероятность непрерывной работы системы, которая была исправна в начальный момент времени t = 0.
Экспоненциальный закон надежности
Основной период эксплуатации обычно характеризуется почти постоянной интенсивностью отказов. В этом периоде отказы происходят от случайных факторов (попадание посторонних предметов, неблагоприятное сочетание внешних факторов, усталостные разрушения и др.) и носят внезапный характер. Время появления отказа не связано с предыдущей наработкой изделия.
При экспоненциальном законе надежности предполагается, что интенсивность отказов является величиной постоянной (рис. 15.2):
(15.2)
Вероятность безотказной работы по уравнению (14.21)
(15.3)
Плотность распределения отказов
(15.4)
Среднее время безотказной работы
(15.5)
Вероятность безотказной работы можно теперь записать в такой форме:
(15.6)
Экспоненциальный закон распределения справедлив для описания потока отказов с постоянной интенсивностью.
Рис. 15.2. Экспоненциальное распределение времени безотказной работы
Понятие потока отказов вводится для восстанавливаемых в процессе эксплуатации изделий.
Для потока отказов величина Tср представляет собой среднюю наработку на один отказ.
Важным свойством экспоненциального закона надежности является то, что он относится к «нестареющим» системам. Для такого закона (и только для него!) прогнозируемая вероятность безотказной работы не зависит от предыдущей наработки
(15.7)
Пример 1. Изделие имеет ресурс 1000 ч и интенсивность отказов λ = 0,1e-3 1/ч (среднее время наработки на отказ Tср = 10 000 ч.).
Определить вероятность безотказной работы первые 10ч и за весь ресурс, считая справедливым экспоненциальный закон надежности.
Решение. Вероятность безотказной работы за первые 10 ч работы
за весь ресурс
но если известно, что изделие отработало исправно 990 ч, то вероятность отсутствия отказов за последние 10 ч снова будет 0,999.
Рассмотрим определение интенсивности отказов (или средней наработки на отказ) при экспоненциальном распределении. Если известно, что для каждого из n испытуемых изделий время работы до отказа составило t*I, то следует принять
(15.8)
Однако на практике информация о работоспособности изделий относится к определенному времени эксплуатации, в течение которого часть изделий получила отказы, а остальные отработали его исправно. Тогда следует принять для данного времени испытаний
(15.9)
Пример 2. Определить среднюю наработку до отказа для экспоненциального закона надежности, если за время эксплуатации имеются следующие данные - 30 изделий отработали исправно 3000 ч, 10 изделий по 1000 ч, 7 изделий по 1500 ч; сняты три изделия после наработки соответственно 500, 2000 и 2500 ч.
Решение. Суммарное время наработки
(15.10)
Средняя наработка на отказ
(15.11)