Тема 5: Задачи и вероятностные методы их решения на основе статистического моделирования случайных величин и случайных процессов…………………………………………………………………… 122
Лекции 18,19 Определение статистических характеристик прочности. Определение статистических характеристик внешних нагрузок……… 122
Лекции 20,21 Определение средней долговечности при действии циклических напряжений со случайными амплитудами…………………150
Лекции 22,23 Методы вычисления надежности и коэффициентов запаса. Выбор нормативного коэффициента запаса. Коэффициенты запаса в практических расчетах…………………………………………………… 165
Лекции 24,25,26 Современные методы моделирования случайных процессов и величин при решении задач строительной механики расчета и проектирования сооружений………………………………………………. 189
Литература………………………………………………………………… ..220
Приложение.…………………………………………………………………221
Тема 1 «введение и общие положения»
Лекция 1. История развития вероятностных методов расчета. Детерминированные и вероятностные методы расчета. Их сравнение, задачи и методы. Предпосылки и математический аппарат, используемые в вероятностных методах расчета
Строительная механика как наука о прочности, жесткости и устойчивости сооружений, находящихся под различными воздействиями, выделилась из общей механики благодаря работам Г. Галилея. Это не означает, что до его работы, посвященной расчету корпуса корабля на прочность, человечество не имело в своем распоряжении каких-либо знаний и методов строительства. Но эти методы, основанные на интуиции и печальном опыте обрушений неудачно выполненных сооружений, позволяли еще в древности создавать долговечные грандиозные и совершенные в конструктивном исполнении памятники архитектуры. Строгий научный подход к решению задач, характерный для XIX столетия, и развитие методов математической физики, сильно потеснили интуитивные методы, но не могли исключить необходимость учета случайного характера многих параметров расчетных моделей на стадии принятия и оценки надежности решений при проектировании сооружений.
Реальное сооружение и его условия эксплуатации отличаются от идеа-лизированной расчетной модели и условий, рассматриваемых на стадии проектирования. Фактические напряжения, деформации и перемещения являются случайными величинами из-за случайного характера внешних воздействий, прочностных и др. внешних условий. Поэтому надежность результатов расчета и, в конечном счете, конструкции, должна быть определена с помощью вероятностных методов строительной механики с привлечением методов теории вероятностей.
Обычный подход к расчету конструкций состоит из двух этапов.
1. Для заданной расчетной модели вычисляются напряжения, деформации и перемещения в элементах конструкций, подверженных действию различных внешних нагрузок. Эта задача решается методами строительной механики, теории упругости, теории пластичности и т.д. Такой подход называется детерминистическим.
2. Вычисленные величины сопоставляются с нормативно допустимыми значениями. При этом решается задача надежности, долговечности и экономичности конструкции. Обычно для решения этих задач использовался сначала метод допускаемых напряжений для определения коэффициентов запаса прочности. Он заключался в том, что для любого волокна конструкции должно было выполняться условие
k S Sдоп, (1.1)
где Sдоп – допускаемое напряжение; S – напряжение в волокне, определяемое методами строительной механики; k – коэффициент запаса.
В 1930-е годы по различным спорным вопросам, связанным с вероятностно-статистическим представлением снеговых и ветровых нагрузок, проявились существенные противоречия метода допускаемых напряжений при определении коэффициентов запаса прочности.
В
1945 году метод допускаемых напряжений
уступил место другому методу, снимавшему
частично эти противоречия, и получил
название «Метод
предельных состояний». Общий
коэффициент запаса был рас-членен на
три коэффициента: однородности материала,
перегрузки и усло-вий работы. Таким
образом, вероятностная оценка общих
коэффициентов запаса прочности была
расчленена на три независимых оценки,
учиты-вающих различную изменчивость
прочностных характеристик мате-
риалов, величин и характера нагрузок.
При этом предполагалось, что в
расчлененном варианте решение
неопределенностей будет точнее.
В 1955 году метод, благодаря работам Н.С.
Стрелецкого, был включен в «Строительные
нормы и правила СССР» и в дальнейшем
усовер-шенствован: система расчетных
коэффициентов была расширена до пяти.
Это коэффициенты надежности
по нагрузке –
,
по материалу –
,
по назначению –
,
при расчете по временному сопротивлению
–
и коэффициенты условий работы –
.
В
теории вероятностей главная задача –
зная состав генеральной совокупности,
изучить распределения для состава
случайной выборки.
Получение закона распределения случайных
величин - это прямая задача теории
вероятностей. Генеральная
совокупность
–
совокупность
элементов, удовлетворяющих неким
заданным условиям (именуется также
изучаемой совокупностью), состоит
из всех объектов, которые подлежат
изучению. Это могут быть дискретные или
непрерывные в заданном интервале или
на бесконечности случайные величины.
Состав генеральной
совокупности зависит
от целей исследования. Примерами для
дискретных величин могут быть биномиальное
распределение (Бернулли).
Например:
–
количество «успехов» в последовательности
из 
независимых
случайных экспериментов, таких что
вероятность «успеха» в каждом из них
равна
.
- вероятность
«неуспеха».
Закон распределения имеет вид:
|
0 |
1 |
….. |
k |
….. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь вероятности находятся по формуле Бернулли:
.
(1.2)
Характеристики:
, 
, 
.
(1.3)
Примеры
многоугольников распределения для 
и
различных вероятностей.
Дискретное Пуассоновское распределение моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.
При
условии 
закон
распределения Пуассона является
предельным случаем биномиального
закона. Так как при этом вероятность
события A в
каждом испытании мала, то закон
распределения Пуассона называют часто
законом редких явлений.
Ряд распределения:
|
0 |
1 |
….. |
k |
….. |
|
|
|
….. |
|
….. |
Вероятности
вычисляются по формуле Пуассона: 
.(1.4)
Числовые
характеристики: 
, 
, 
.
(1.5)
Разные
многоугольники распределения при 
.
Показательное распределение (непрерывное)
Экспоненциальное или показательное распределение – абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.
Плотность распределения:
,
(1.6)
где 
.
Числовые
характеристики: 
, 
, 
(1.7)
Плотность распределения при различных значениях :
Равномерное распределение (непрерывное)
Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов (например, ошибка округления числа до целого распределена равномерно на отрезке [-0,5; 0,5]), в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчиненных заданному распределению.
Плотность распределения:
(1.8)
Числовые
характеристики: 
, 
, 
.
(1.9)
График плотности вероятностей следующий:
Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное)
Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, – распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение – отсюда и произошло одно из его названий.
Плотность распределения:
(1.10)
Числовые
характеристики:
, 
, 
(1.11)
Пример плотности распределения следующий:
Нормальный
закон распределения случайной величины
с параметрами 
и 
называется
стандартным или нормированным, а
соответствующая нормальная кривая –
стандартной или нормированной.
Функция
Лапласа 
.
(1.12)
Вероятность
попадания нормально распределенной
случайной величины
в
заданный интервал 
(1.13)
Вероятность
отклонения нормально распределенной
случайной величины
на
величину 
от
математического ожидания (по модулю).
.
(1.14)
Когда известен состав выборки и по нему требуется определить, какой была генеральная совокупность – это обратная задача математической статистики. Или, точнее, в теории вероятностей мы, зная природу некоторого явления, выясняем, как будут вести себя (как распределены) те или иные изучаемые нами характеристики, которые можно наблюдать в экспериментах. В математической статистике наоборот – исходными являются экспериментальные данные (обычно это наблюдения над случайными величинами), а требуется вынести (с определенной вероятностью) то или иное суждение о природе рассматриваемого явления.
Основные понятия и задачи вероятностных методов СМ
Надежность – свойство объекта сохранять во времени в установлен-ных пределах значения всех параметров, характеризующих способность объекта выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонта и транспортирования. Иначе, надежность – это устойчивость качества по отношению ко всем возможным возмущениям. Надежность определяется количественными показателями (промежуток времени, число рабочих циклов, число километров и т.д.).
В зависимости от назначения системы и условий ее эксплуатации надежность включает различные свойства: 1) безотказность; 2) долговечность; 3) ремонтопригодность; 4) сохраняемость и любые их сочетания.
Безотказность – вероятность безотказной работы конструкции за определенный промежуток времени.
Долговечность – вероятный промежуток времени безотказной работы конструкции.
Ремонтопригодность – вероятность того, что неисправная система может быть восстановлена за заданное время.
Содержание теории надежности – разработка методов оценки надежности систем и создание систем, обладающих заданными показателями надежности и долговечности.
Задачи расчета на надежность:
– определение вероятности выхода конструкции из строя в заданных условиях;
– нахождение по заданной экономически целесообразной надежности требуемых размеров конструкции;
– определение допустимых нагрузок или оптимального срока эксплуатации;
– оценка надежности системы по имеющимся оценкам надежности составляющих ее элементов.
В задачу теории надежности строительных конструкций входит также обоснование процедур нормирования расчетных характеристик.
Специфика теории надежности строительных конструкций состоит в необходимости учета случайных свойств нагрузок и воздействий на сооружения, а также учета совместного действия случайных нагрузок на систему со случайными прочностными характеристиками.
Основное понятие теории надежности – отказ – это событие, состоя-щее в нарушении работоспособности системы. Понятие отказа близко по смыслу к понятию предельного состояния. К предельным состояниям 1-й группы относятся: общая потеря устойчивости формы, потеря устойчи-вости положения, любое разрушение, переход в изменяемую систему, качественное изменение конфигурации; состояния, при которых возникает необходимость прекращения эксплуатации в результате текучести материала, сдвига в соединениях, ползучести или чрезмерного раскрытия трещин. Предельные состояния 2-й группы – недопустимые деформации конструкции в результате прогиба, поворота или осадок, характеризуемых разностью вертикальных перемещений узлов, отнесенных к расстоянию между ними, креном сооружения в целом, относительным прогибом или выгибом, кривизной элемента, относительным углом закручивания, горизонтальным или вертикальным смещением элемента или сооружения в целом, углом перекоса или поворота. К предельным состояниям 2-й группы относятся также недопустимые колебания конструкции, изменение положения, образование или раскрытие трещин.
Примеры отказов – обрушения, опрокидывания, потеря устойчи-вости, хрупкое разрушение, большие деформации и прогибы, механи-ческий или коррозионный износ, растрескивание и т.д.
Отказы вызваны влиянием случайных факторов, поэтому они носят случайный характер. За показатель (меру) надежности системы может быть принята вероятность Р безотказной работы в течение всего срока службы Т.
Недостатки теории надежности – сложно получить опытные данные в количестве, достаточном для последующей их обработки методами теории вероятностей. Сложно длительный срок проводить испытания конструкции для получения надежных выводов о ее долговременной работе.
1. Средневековая Европа и начало Нового времени Главным достижением данного периода можно считать развитие комбинаторных методов, Еще в шестнадцатом веке видные математики Тарталья и Кардано в своей работе «Об азартной игре» обратились к задачам теории вероятностей в связи с игрой в кости.
2. XVII век. Паскаль (1623–1662 гг.), Ферма, Гюйгенс. Основные понятия и методы теории вероятностей для случайных величин с конечным числом значений.
3. XVIII век. Появились монографии с систематическим изложением теории вероятностей «Искусство предположений» Якоба Бернулли (1713 г.). Развитие идей Бернулли.
4. XIX век. Идеи Бернулли далеко развили в начале XIX века Лаплас, Гаусс, Пуассон. Общие тенденции и критика. Гаусс, Лаплас, Пуассон. Теория ошибок измерения. Появляются первые попытки применения теории вероятностей в физике. Вероятностные методы проникают в самые различные прикладные науки.
5. XX век. Строгое обоснование было разработано только в 1929 го-ду. Андрей Николаевич Колмогоров дал классическую аксиоматику теории вероятностей.
Основателями научной школы в области теории вероятностей в Петербургском университете были великие русские математики П.Л. Чебышев, А.М. Ляпунов и А.А. Марков. Их работы сыграли определяющую роль в развитии теории вероятностей. Им предшествовал В.Я. Буняковский, опубликовавший первый русский учебник по теории вероятностей (по которому Гаусс учился русскому языку); в частности, в этом учебнике впервые рассматривалась задача статистического контроля приемки качества продукции.