Статистический характер прочности Нормативное сопротивление

Базовым параметром сопротивления материалов силовым воздействиям служит нормативное сопротивление, устанавливаемое с учетом случайной изменчивости прочностных (точнее, механических) свойств. Стандартом установлено, что обеспеченность значений нормативных сопротивлений должна быть не менее 0,95

Для разных конструкционных материалов и грунтов нормативные значения прочностных и деформационных характеристик установлены по различным наиболее существенным показателям, например:

- для "мягких" арматурных сталей с физическим пределом текучести - по установленному соответствующим ГОСТом браковочному минимуму предела текучести;

- для "твердых" сталей без площадки текучести - по значению условного предела текучести;

- для конструкционных сталей углеродистой и повышенной прочности, а также для алюминиевых сплавов - по пределу текучести;

- для конструкционных сталей без площадки текучести, а также в случаях, когда по характеру работы конструкции несущая способность определяется не пластичностью, а прочностью, нормативное сопротивление определяется по временному сопротивлению;

- для бетона нормативное сопротивление определяется по результатам испытаний стандартных образцов в 28-дневном возрасте:

КУБОВ - класс бетона;

ПРИЗМ - нормативное сопротивление сжатию;

ВОСЬМЕРОК, ЦИЛИНДРОВ - на раскалывание;

БАЛОК на изгиб - нормативное сопротивление растяжению.

- для древесины - по результатам испытаний стандартных образцов без пороков ("ЧИСТЫХ");

- для пластических масс - то же, однако, для разных видов пластмасс размеры образцов различны.

Соответствующими стандартами установлены также другие нормативные характеристики материалов (объемная масса, модули упругости и сдвига, коэффициенты трения, сцепления, характеристики ползучести, усадки, температурного расширения, усушки, набухания и другие.).

Для грунтов естественных оснований определяющими характеристиками служат нормативные значения угла внутреннего трения, удельного сцепления, модуля деформации. Для скальных и вечномерзлых грунтов этими характеристиками служат сопротивление одноосному сжатию и сдвигу.

Отличительная особенность нормативных прочностных характеристик грунтов заключается в том, что они принимаются по среднестатистическим значениям, а не с обеспеченностью 0,95 как для конструкционных материалов.

Возможные отклонения нормативных характеристик конструкционных материалов и грунтов в неблагоприятную сторону учитываются коэффициентами надежности по материалу и грунту . Эти коэффициенты учитывают ряд факторов, не проявляющихся при стандартных испытаниях, но встречающихся в практике эксплуатации в "обычных" условиях (в отличие от "особых" условий, учитываемых дополнительно коэффициентом условий работы).

Коэффициент всегда больше единицы и для разных материалов колеблется в широких пределах. Наименьшее значение = 1,025 установлено для стального проката по некоторым ГОСТам и ТУ. Для высокопрочных сталей значение повышается до 1,15. Наибольшее общее значение = 6 принято для сопротивления древесины растяжению вдоль волокон при нормировании характеристики по результатам испытаний мелких стандартных образцов. Если исключить коэффициент длительного сопротивления, равный 0,66, то в чистом виде для этого случая = 4.

Для бетона коэффициент ближе к меньшим значениям, = 1,3 при сжатии и = 1,5 при растяжении. Для большинства пластмасс = 1,3 - 1,7.

Такие различия объясняются разным набором учитываемых факторов. Для конструкционных сталей этот коэффициент учитывает только выборочный характер контроля (возможность случайного попадания в конструкции стали с пониженными характеристиками). Для древесины же коэффициент надежности по материалу учитывает масштабный эффект (малая доля) и влияние пороков структуры (сучки, косослой и другие допустимые для данного сорта дефекты), разное для разных видов напряженного состояния.

Начальная прочность материалов в строительных нормах

В действующих документах нормативные значения не совпадают с м.о. и сдвинуты по отношению к среднему значению.

, (9.1)

где – м.о. и коэффициент вариации нормативного значения нагрузки; – то же сопротивления; – коэффициенты, показывающие какое число стандартов отсчи-тывается от м.о. при назначении нормативных значений нагрузки и сопротивления.

При коэффициенте изменчивости прочности менее 0,06–0,08 применяется нормальный закон распределения (т.е. не учитываются моменты высших порядков – асимметрия и эксцесс). Более всего это относится к стали, для бетона, каменной кладки, древесины и других материалов с коэффициентом изменчивости 0,15–0,25 корректнее использовать более точные законы распределения, учитывающие асимметрию и эксцесс. Например, функция распределения, полученная из распределения Пирсона III типа:

, (9.2)

где  и b – параметры, учитывающие асимметрию.

, (9.3)

асимметрия . (9.4)

По СНиП II-23-81 «Стальные конструкции. Нормы проектирования» (приложение 8а, стр. 92) при испытаниях металла нормативное значение предела текучести или временного сопротивления стали определяется по результатам статистической обработки:

, (9.5)

где – математическое ожидание предела текучести или временного сопротивления; – среднеквадратическое отклонение предела текучести или временного сопротивления.

; (9.6)

или по (3.8)

, (9.7)

где . появляется один раз; – вероятность появления возможных значений предела текучести или временного сопротивления; – число испытанных образцов (полная группа несовместных событий); – коэффициент, учитывающий объем выборки.

, (9.8)

при ;

;

;

,

показывает, на какое число стандартов сдвинуто нормативное сопротивление по отношению к математическому ожиданию.

Чем больше , тем достовернее полученные результаты, тем меньше и больше ( или ).

. (9.9)

При значении коэффициента вари-ации (изменчивости) 0.1 использовать результаты, полученные из опытов, не допускается, так как они ненадежны. Кроме того, коэффи-циентом надежности по материалу 1 учитывается разброс найденных нормативных сопротивлений (изменчивость в неблагоприятную сторону).

Расчетное сопротивление вычисляется по формулам (здесь – для стальных конструкций):

– по пределу текучести;

или

– по пределу прочности.

Нормативные значения принимаются с обеспеченностью 0.95, т.е. вероятность того, что случайное фактическое сопротивление  равна 0.95, тогда вероятность непревышения:

или, приняв нормальное распределение, через интеграл вероятности Гаусса Ф(х):

.

ПРИМЕР 1:

Определим математическое ожидание предела текучести для стали С235. Примем (худший вариант), и тогда

МПа при МПа.

При изменчивости МПа.

Определим, насколько сдвинуто влево от математического ожидания предела текучести расчетное сопротивление по пределу текучести .

; ; МПа; МПа;

МПа;

МПа;

МПа.

Таким образом, расчетное сопротивление сдвинуто влево от математического ожидания предела текучести на и вероятность того, что предел текучести будет меньше расчетного сопротивления равна:

Обеспеченность расчетного сопротивления этой стали равна

.

Нормами строго установлена обеспеченность расчетных сопротивлений только для древесины и древесных пластиков. Она составляет 0,99 и выше. Для бетонов, кирпича и других конструкционных материалов нет единой обеспеченности этой важнейшей прочностной характеристики, используемой при проектировании.

Нужно также учитывать, что в СНиПах приведены округленные значения прочностных и деформационных характеристик. Это в определенной степени влияет на обеспеченность расчетных значений.

ПРИМЕР 2:

Определить обеспеченность расчетного сопротивления изгибу древесно-стружечных плит со следующими характеристиками:

R^н = 16 МПа, R = 5,76 МПа, коэффициент вариации v = 0,16, коэффициент длительного сопротивления m_дл = 0,53, масштабный коэффициент k_p = 0,8.

РЕШЕНИЕ:

Коэффициент надежности по материалу вычислим из соотношения между нормативным и расчетным сопротивлением с учетом того, что масштабный эффект и различие длительной и кратковременной прочности учитываются отдельными коэффициентами, которые будем считать детерминированными.

Из соотношений расчетного и нормативного сопротивлений для древесины и древесных пластиков

отсюда

=

Выразим нормативное сопротивление через временное с учетом того, что обеспеченность его 0,95:

R^н = R_ср(1 - 1,645v)

где коэффициент 1,645 определяет обеспеченность 0,95.

В свою очередь так же можно выразить расчетное сопротивление

R = R_ср(1 - tv),

где t определяет неизвестную обеспеченность.

Из этих соотношений

и отсюда

По таблице Ф(t) находим, что такой коэффициент соответствует значению интеграла вероятностей Ф(t) = 0,490.

Тогда вероятность непревышения расчетного сопротивления составляет

0,5 - Ф(t) = 0,50 - 0,49 = 0,01,

что соответствует обеспеченности P = 1 - 0,01 = 0,99.

Именно такое значение обеспеченности приведено для древесных плит в нормах по проектированию деревянных конструкций.

Решим эту же задачу для случая действия только кратковременной нагрузки малой продолжительности, соизмеримой с длительностью стандартных испытаний (например, при сейсмической нагрузке), когда m_дл = 1. Тогда

Ф(t) = 0,499985;

0,5 - Ф(t) = 0,000015.

Обеспеченность в этом случае составляет

P = 1 - 0,000015 = 0,999985

Таким образом, при совместном действии длительной и кратковременной (снеговой) нагрузок в течение примерно двух месяцев может разрушиться 1 образец древесных плит из 100, а при кратковременном нагружении до напряжений σ = R^н - только 15 образцов из 1000000 (МИЛЛИОНА) или 1 из 66667.