7.2. Составление математической модели задачи линейного программирования и нахождение решения геометрическим методом.

7.2.1 Экономическая модель

Продукция	Ресурсы			Прибыль на одно изделие
	Рес. 1	Рес. 2	Рес. 3
Изделие 1	2.4	8.0	6.2	50 ( )
Изделие 2	12.2	5.4	2.2	40 ( )
Наличие ресурсов	500	470	340	–

Задачу поставим так: не выходя из заданных пределов наличия ресурсов, используя нормативы, получить объемы производства, при которых удельная прибыль будет максимальная. Сведем решение управленческой задачи к математической.

7.2.2 Математическая модель

Необходимо определить оптимальный объем производства. Обозначим:

– объем изделия 1;

– объем изделия 2.

Опишем модель с помощью системы линейных неравенств:

;

– целевая функция (критерий оптимальности).

7.2.3 Графическое решение системы и определение оптимальных объемов производства.

0АВСD – это допустимое решение системы неравенств, в пределах существующих ресурсов. Используя нормаль целевой функции, определим максимально-удаленную точку от начала координат. Это и будет решением системы неравенств. Как видно из рисунка 7.2.1, такая точка будет т.В.

Рисунок 7.2.1

Г рафическое решение системы линейных неравенств

I I

III

5 0

nF

А

В I

C

50 100

О D

Где:

I – первый ресурс;

II – второй ресурс;

III – третий ресурс;

nF – нормаль целевой функции.

Координаты т.В ( и ) будут пересечение прямых I и II.

Для нахождения координат т.В необходимо решить систему уравнений

и получаем

рассчитаем максимальную прибыль:

Определим излишки ресурсов (скрытые резервы):

I ресурс:	0;
II ресурс:	0;
III ресурс:	43.10.

7.2.4 Объективно обусловленные оценки ресурсов

Объективно обусловленные оценки ресурсов (далее О.О.О.) показывают, на сколько измениться прибыль, если ресурс увеличить на единицу или сколько прибыли добавляет каждая единица ресурса.

О.О.О. 1-го ресурса.

Увеличим на единицу ограничение второго ресурса и определим оптимальный объем производства для данных товаров.

Найдем решение системы уравнений:

Тогда максимальная прибыль при таких объемах производства будет:

Рассчитаем О.О.О. второго ресурса:

О.О.О. 2-го ресурса.

Увеличим на единицу ограничение третьего ресурса и определим оптимальный объем производства для данных товаров.

Найдем решение системы уравнений:

Тогда максимальная прибыль при таких объемах производства будет:

Рассчитаем О.О.О. второго ресурса:

О.О.О. 3-го ресурса.

О.О.О несущественного ресурса равна нулю, т.к. ресурс и так в избытке, т.е.: