Вероятность разрушения при произвольных законах распределения напряжений и пределов прочности

В этом случае вероятность разрушения может быть определена из следующих соображений.

Пусть имеется переменное напряжение σа = ξ Вероятность того, что предел выносливости σ-1л = η окажется меньше данной величины ξ (наступит разрушение), будет

где Fη (ξ)  функция распределения случайной величины η,

Для нахождения вероятности разрушения следует учесть все возможные значения ξ (все несовместимые пути реализации события) и по формуле полной вероятности

**

Подобным образом находим равнозначное условие

Нахождение вероятности разрушения теперь сведено к вычислению интеграла (**) или (17).

В общем случае запас прочности может быть представлен в виде

где σэкв — эквивалентное напряжение.

Например, при одновременном действии нормальных а и касательных  напряжений

Для длительной прочности при нестационарном режиме нагружения функция неразрушения зависит от общего времени работы t

Для длительной статической прочности или сопротивления усталости справедлив степенной закон связи σдл  и времени (числа циклов) до разрушения

***

Где m и  C — постоянные материала, зависящие от температуры.

Если действующее напряжение в момент времени

где σ0 — случайная величина,  f(t*) — детерминированная функция времени, то при линейном законе суммирования повреждений

****

Для сопротивления усталости при нестационарном нагружении функцня неразрушения от общего числа циклов нагружения

В каждый момент нагружения действующее напряжение

Учитывая зависимости типа (***)

получим

Равенства (****) и (26) справедливы при постоянной температуре.

Для расчета должны быть известны среднее значение и среднее квадратическое отклонение пределов прочности и эквивалентного напряжения, причем

При нормальном распределении указанных величин используют соотношение (*). Вероятность разрушения зависит в рассматриваемом случае от времени работы.

Доверительные пределы для вероятности разрушения.

При расчете вероятности разрушения по формуле (*) предполагают, что статистические характеристики пределов выносливости М.О. и стандарт η  и действующих напряжений ξ относятся к генеральной совокупности (выборке бесконечно больших размеров).

В действительности указанные величины определяют по выборке (объему испытаний), содержащей конечное число образцов.

Если при определении действующих напряжений использованы результаты n1 испытаний, то

Соответственно для пределов прочности (n2 — число испытаний)

Оценим приближенно наибольшее значение вероятности разрушения.

Очевидно, что оно реализуется при минимальной разности средних значений и максимальном значении Sζ

Будем использовать с доверительной вероятностью Рд следующие односторонние оценки (здесь t - коэффициент безопасности Стьюдента и Ksmax указаны, например, в работе [8]):

Тогда из равенства (*) получим приближенную оценку

Для расчета может быть использовано и равенство (*+).  Доверительную вероятность для приближенной оценки можно приближенно принять равной Рд .

Пример. Определить вероятность разрушения элемента конструкции, если известно, что среднее значение переменных напряжений ξ = 100 МПа  и среднее квадратическое отклонение Sξ  = 20 МПа (по данным тензометрирования); среднее значение предела выносливости η = 200 МПа  и среднее квадратическое отклонение Sη  = 30 МПа (по данным испытаний на выносливость).

Решение. Находим по формулам

Вероятность разрушения по формуле (*)

По таблице значений функции Лапласа

По приближенной формуле (*+)

Значения вероятности разрушения, вычисленные по средним значениям и с учетом рассеяния экспериментальных данных, существенно расходятся между собой. В практических расчетах следует указывать, при каких условиях получено расчетное значение вероятности разрушения.

Вероятность разрушения как характеристика прочностной надежности правильно отражает качественные особенности задачи: она возрастает при уменьшении запаса прочности и увеличении рассеяния нагрузок и механических свойств материалов. Однако ее использование как нормативной характеристики для определения отказов ответственных конструкций (разрушений с тяжелыми последствиями) ограничено:

а) значение вероятности разрушения зависит от «хвостов» распределений, которые даже по выборкам большого объема (n>100)  определяются весьма неточно (погрешность может составлять несколько порядков). В связи с этим расчетная вероятность разрушения носит условный характер. Реальный смысл имеет только сравнение элементов выполненных и вновь проектируемых конструкций, проводимое в сопоставимых условиях;

б) при расчете допускается возможность аварии (катастрофы), это создает затруднения психологического характера.

Рассмотренная статистическая модель пригодна для отказов с ограниченными последствиями, для которых допустимо использование вероятностей разрушения  Рразр > 1e-3.

Более обоснованно использование в качестве нормативных характеристик, особенно для прочностных отказов с тяжелыми последствиями, статистических запасов прочности.